Lineare Gleichungssysteme lösen

Lineare Gleichungssysteme lösen zu können ist eine der wichtigsten Kompetenzen für diesen Untertest. Im BaPsy 2024 gab es zwei Aufgaben, die das Lösen von Gleichungssystemen isoliert abgefragt haben und auch für einige weitere Aufgabentypen ist es unerlässlich diese Fähigkeit anzuwenden. Leider ist das Lösen von Gleichungssystemen keine Thematik, die man mit vielen Tipps und Abkürzungen vereinfachen kann. Hier gilt wie so oft -- Übung macht den Meister.

Schritt für Schritt Grundsätzlich gilt bei dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, dass wir immer mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte brauchen, damit das Gleichungssystem lösbar ist. Meist werden wir 3 oder 4 Unbekannte in verschiedenen Gleichungen gegeben haben und müssen dann durch verschiedene Verfahren zum Ergebnis kommen. Dazu solltest Du versuchen Schritt für Schritt eine Unbekannte nach der anderen zu eliminieren, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten. Zu Beginn ist es meist schwierig bei Gleichungen mit 4 Unbekannten einen Weg zu finden die erste Variable zu eliminieren. Aber je weniger Variablen übrig sind, desto einfacher wird es diese rauszukürzen.

*Lösungsmethoden* Es gibt 3 Lösungsmethoden, die Du nutzen kannst, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen:

1. Das Additionsverfahren Beim Additionsverfahren verrechnen wir ganze Gleichungen miteinander. Wir können die Gleichungen beide zuvor in Gänze jeweils mit einem Faktor multiplizieren und so auch die Vorzeichen ändern. Diese Methode eignet sich besonders zu Beginn, wenn man noch viele Unbekannte in den Gleichungen hat, da man nur eine Unbekannte finden muss, die sich so eliminieren lässt.

*Beispiel:* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: I. $2x - 7y = 13$ II. $4x - 16y = 22$

Wir sehen, dass der Faktor von $x$ bei I. halb so groß ist, wie bei II.. Das bedeutet, wir können die Gleichung I. mit $- 2$ multiplizieren und anschließend die beiden Gleichungen verrechnen, damit die Variable $x$ eliminiert wird.

$- 2 \bullet$ I.: $- 4x + 14y = - 26$

$- 2 \bullet$ I. $+$ II.: $- 4x + 14y = - 26$ $+$ $4x - 16y = 22$

$- 2y = - 4$ $y = 2$

2. Das Gleichsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren können wir nahezu immer anwenden und sofern wir nicht sicher sind, ob wir andere Methoden anwenden können, ist das ein sicherer Weg eine Variable zu eliminieren. Beim Gleichsetzungsverfahren stellen wir die beiden Gleichungen nach derselben Variable um und setzen sie dann gleich, sodass die Variable, nach der umgestellt wurde, wegfällt. Anschließend gilt es noch die Gleichung weiter zu vereinfachen.

*Beispiel:* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: I. $x - 8y + 3z = - 3$ II. $5x - 15y + 10z = 14$

Wir stellen beide Gleichungen nach $x$ um, da das sichtbar am einfachsten ist und setzen dann gleich.

I.: $x - 8y + 3z = - 3$ $| + 8y - 3z$

$x = 8y - 3z - 3$

II. $5x - 15y + 10z = 14$ $| + 15y - 10z$

$5x = 15y - 10z + 14$ $| \div 5$

$x = 3y - 2z + 2,8$

I. $=$ II.: $8y - 3z - 3 = 3y - 2z + 2,8$ $| - 3y + 2z$

$5y - z - 3 = 2,8$ $| + 3$

$5y - z = 5,8$

3. Das Einsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren ist vor allem nützlich, wenn nur noch wenige Unbekannte übrig sind. Zu Beginn mit vielen Unbekannten ist es nicht ratsam das Einsetzungsverfahren zu verwenden. Dabei stellen wir eine Gleichung nach einer Variable um und setzen für diese Variable in der anderen Gleichung ein.

*Beispiel:* Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: I. $19x + 3y = 35$ II. $2 = 2x + 2y$

Wir stellen die zweite Gleichung nach $y$ um, da sie deutlich einfacher umzustellen ist und weil in der ersten Gleichung für $y$ einzusetzen am einfachsten auszumultiplizieren ist.

II.: $2 = 2x + 2y$ $| - 2x$

$2 - 2x = 2y$ $| \div 2$

$y = 1 - x$

II. in I.: $19x + 3 \bullet (1 - x) = 35$

$19x + 3 - 3x = 35$ $| - 3$

$16x = 32$ $| \div 16$

$x = 2$