Asymptoten

Zum Verhalten im Unendlichen gehört auch das Thema Asymptoten. Da es im BaPsy bereits explizite Aufgaben zu Asymptoten gab, widmen wir dem eine eigene Lektion. Eine Asymptote ist eine Linie, in unseren Fällen meist eine Gerade, der sich die Funktion unendlich weit annähert. Es gibt verschiedenste Formen von Asymptoten, aber für uns sind vor allem 2 Arten relevant -- vertikale Asymptoten und horizontale Asymptoten. Eine vertikale Asymptote entspricht einer senkrechten Gerade, der sich die Funktion unendlich weit annähert und eine horizontale Asymptote entspricht einer horizontalen Gerade, der sich die Funktion unendlich weit annähert.

Vertikale Asymptote

Beispiel: $f(x) = ln(x - 1)$

Die Funktion $f(x)$ hat eine vertikale Asymptote bei $x = 1$.

Horizontale Asymptote

Beispiel: $h(x) = e^{- x} + 1$

Die Funktion $h(x)$ hat eine horizontale Asymptote bei $y = 1$

Die Asymptote ist jeweils durch die gestrichelte Linie gekennzeichnet.

Wenn im BaPsy eine Aufgabe zu Asymptoten vorkommt, dann wird sie aller Wahrscheinlichkeit nach so aufgebaut sein, dass eine Funktion gegeben wird, die aus einem Bruch besteht. Die Antwortmöglichkeiten geben verschiedene mögliche Asymptoten und Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, welche der gegebenen Funktion zuzuschreiben ist. Schauen wir uns jetzt mal an, wie Asymptoten berechnet werden können.

Vertikale Asymptoten berechnen

Wenn wir vertikale Asymptoten finden wollen, müssen wir die Funktion auf Definitionslücken untersuchen. Es liegt eine Definitionslücke vor,

• wenn die Funktion aus einem Bruch besteht und der Nenner des Bruchs $= 0$ ist.

• wenn die Funktion einen Logarithmus enthält und der Inhalt des Logarithmus $\leq 0$ wird.

Im BaPsy sind vertikale Asymptoten bisher immer bei Funktionen mit einem Bruchterm vorgekommen. In diesem Fall setzen wir den Nenner des Bruchs $= 0$ und das resultierende Ergebnis gibt an, an welchen Stellen die Funktion ihre vertikalen Asymptoten hat.

Wenn die Funktion einen Logarithmus enthält, dann würden wir dasselbe mit dem Inhalt des Logarithmus machen und diesen $= 0$ setzen.

Horizontale Asymptoten berechnen

Um eine horizontale Asymptote zu bestimmen, betrachtet man, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn $x$ sehr groß oder sehr klein wird, also für $x = + \infty$ und $x = - \infty$. Man prüft dabei, welchen Wert die Funktion für diese extremen $x$-Werte annimmt. Ergibt sich ein fester, endlicher Wert, so liegt eine horizontale Asymptote der Form $y = c$ vor. Ist das für beide Werte, also $x = + \infty$ und $x = - \infty$, nicht der Fall, dann liegt keine horizontale Asymptote vor.

Um das Ganze zu veranschaulichen, gehen wir eine Beispielaufgabe gemeinsam durch:

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die gegebene Funktion zu?

a) Die Funktion hat eine Asymptote bei $x = - 1$.

b) Die Funktion hat eine Asymptote bei $y = 1$.

c) Die Funktion hat eine Asymptote bei $x = 2$.

d) Die Funktion hat eine Asymptote bei $y = 2$.

Erklärung:

[Vertikale Asymptoten:]{.underline} Um die vertikale Asymptote der Funktion aus dem Beispiel zu berechnen, setzen wir den Nenner des Bruchs $= 0$ und rechnen aus, für welchen $x$-Wert die Funktion nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$ $\rightarrow$ $x = 1$

Dementsprechend hat die Funktion eine Asymptote bei $x = 1$.

[Horizontale Asymptoten:]{.underline}

Zuerst prüfen wir $x \rightarrow + \infty$:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x) = \frac{2 \bullet \infty + 3}{\infty - 1}}$

Da es hier um Unendlichkeiten geht, können wir die Konstanten $+ 3$ und $- 1$ außer Acht lassen, da sie in der Größenordnung keinen Einfluss mehr haben.

$\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x) = \frac{2 \bullet \infty}{\infty}} = 2 \bullet \frac{\infty}{\infty} = 2 \bullet 1 = 2$

Dementsprechend hat die Funktion eine Asymptote bei $y = 2$.

Als nächstes prüfen wir $x \rightarrow - \infty$:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}{f(x) = \frac{2 \bullet - \infty + 3}{- \infty - 1}}$

Hier lassen wir, wie auch zuvor, die Konstanten außer Acht.

$\lim_{x \rightarrow - \infty}{f(x) = \frac{2 \bullet - \infty}{- \infty}} = 2 \bullet \frac{- \infty}{- \infty} = 2 \bullet 1 = 2$

Es bleibt also dabei, dass die Funktion nur eine horizontale Asymptote bei $y = 2$ hat.

Antwort d) ist also die richtige Lösung.