Potenz- und Wurzelgesetze

Besonders bei den Aufgaben zum Themenbereich Algebra ist die Anwendung von Potenz- und Wurzelgesetzen häufig gefragt. Alle wichtigen Gesetze findest Du auch in unserer Formelsammlung. Das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln sollte gut geübt werden, denn es kommt im BaPsy garantiert dran. Wir haben viele Aufgaben zu diesem Thema in den Lernsets untergebracht und im Erklärungsteil der jeweiligen Aufgabe steht immer, welche Potenz- und Wurzelgesetze benötigt werden, um die Aufgabe zu lösen.

Hier zunächst einmal die Potenz- und Wurzelgesetze für Dich im Überblick:

Potenzgesetze

• $a^{b} \bullet a^{c} = a^{(b + c)}$

• $a^{b} \bullet a^{- c} = a^{(b - c)}$

• $a^{c} \bullet b^{c} = {(a \bullet b)}^{c}$

• $a^{c} \div b^{c} = {(a \div b)}^{c}$

• $\frac{1}{a^{b}} = a^{- b}$

• $\frac{1}{a^{- b}} = a^{b}$

• $\left( a^{b} \right)^{c} = a^{b \bullet c}$

• $a^{0} = 1$

Wurzelgesetze

• $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

• $\sqrt{a} \bullet \sqrt{b} = \sqrt{a \bullet b}$

• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

• $\sqrt{a} \bullet b = \sqrt{a \bullet b²}$

• $\sqrt{a} \bullet \sqrt{a} = a$

Beispiel:

Schreibe folgenden Term unter eine Wurzel.

$\frac{\sqrt{y} \bullet x}{\sqrt{x}}$

*Erklärung:* Im ersten Schritt fassen wir $\sqrt{y} \bullet x$ in einer Wurzel zusammen. Dazu nutzen wir folgendes Wurzelgesetz: $\sqrt{a} \bullet b = \sqrt{a \bullet b²}$. Demnach ergibt das: $\sqrt{y} \bullet x = \sqrt{y \bullet x²}$

Im nächsten Schritt wollen wir Nenner und Zähler des Bruchs unter eine Wurzel schreiben. Das machen wir mithilfe dieses Wurzelgesetzes: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

\begin{aligned}\frac{\sqrt{y \bullet x²} \\ \sqrt{x}} = \sqrt{\frac{y \bullet x² \\ x}}\end{aligned} Jetzt müssen wir nur noch vereinfachen. Da $x$ sowohl im Nenner als auch im Zähler steht, kürzt sich ein $x$ weg:

$\sqrt{\frac{y \bullet x²}{x}} = \sqrt{y \bullet x}$

$\sqrt{y \bullet x}$ ist hier die richtige Lösung.