Verhalten im Unendlichen

Da das Verhalten im Unendlichen abhängig vom Bundesland teilweise im Abitur vernachlässigt wird, greifen wir diese Thematik noch einmal auf. Grundsätzlich ist es ein Bestandteil der Kurvendiskussion. Wir wollen herausfinden, ob die Funktion bei $x$-Werten die gegen $\pm \infty$ gehen, entweder unendlich steigt, unendlich fällt oder sich asymptotisch einem bestimmten Wert nähert.

Wenn wir ermitteln wollen, gegen welchen Wert die Funktion für beispielsweise $x \rightarrow \infty$ läuft, müssen wir in der Regel einsetzen und dann approximieren. Hierbei ist es wichtig, folgende Regeln zu kennen:

$\frac{a}{\infty} \approx 0$ für $a\mathbb{\in R}$

$\frac{\infty}{a} \approx \infty$ für $a\mathbb{\in R}$

$\frac{\infty}{\infty} \approx 1$

** Der höchste Exponent**

Wenn eine Polynomfunktion mit mehreren Potenzen vorliegt, dann hilft uns das Einsetzen nicht unbedingt weiter. Hier müssen wir auf den höchsten Exponenten achten. Denn wenn $x \rightarrow \infty$ geht, dann dominiert der höchste Exponent und wenn wir wissen, wie sich dieser verhält, dann wissen wir auch, wie sich die Funktion verhält.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x^{5} - 4x^{3} - 8x$

Gegen welchen Wert geht $f(x)$ bei $x \rightarrow - \infty$?

Erklärung:

Wir schauen lediglich nach dem Term mit dem höchsten Exponenten, was hier $3x^{5}$ ist. Dann setzen wir $- \infty$ für $x$ ein und wissen, wie sich die Funktion entwickelt.

$3( - \infty)^{5} \approx - \infty$ Da die Potenz ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen bestehen und somit geht der Wert des Terms bei $x \rightarrow - \infty$ auch gegen $- \infty$.

Jetzt können wir auch auf die Funktion schließen und wissen, dass bei $x \rightarrow - \infty$ auch $f(x) \rightarrow - \infty$ gilt.