Die Tangente

Die Tangentengleichung setzt sich aus mehreren Komponenten zusammen und lautet folgendermaßen: $t(x) = mx + b$

$m$ ist die Steigung der Tangente, die gleich sein muss, wie die Steigung der Funktion im Tangentialpunkt.

$b$ ist die Konstante beziehungsweise der $y$-Achsenschnittpunkt der Tangente.

Die Tangente einer Funktion zu berechnen, geht folgendermaßen:

Man leitet zunächst die Funktion ab und setzt dann den $x$-Wert des Punktes, an dem man die Tangente sucht, in die Ableitung ein. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente, also $m$. Diesen Wert setzen wir in unsere Tangentengleichung ($t(x) = mx + b$) ein, denn die Tangente muss im angegebenen Punkt dieselbe Steigung besitzen, wie die Funktion.

Da $x$ und $t(x)$ mit dem Punkt in der Aufgabenstellung gegeben sind, kennen wir alle Komponenten außer $b$. Um $b$ herauszufinden, setzen wir alle Werte in $t(x) = mx + b$ ein und lösen nach $b$ auf. Und dann haben wir schon die ganze Tangentengleichung ermittelt.

Optional kann man auch hier den vorgegebenen Punkt in die 4 möglichen Tangentengleichungen einsetzen und so einige Antwortmöglichkeiten ausschließen. Was schneller und zuverlässiger ist, muss individuell entschieden werden.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f(x) = - x³ + 4$

Welche der folgenden Funktionen ist die Tangente von $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)$ im Punkt $\mathbf{(}\mathbf{1|3}\mathbf{)}$?

a) $t(x) = - 2x + 4$

b) $t(x) = 3x + 3$

c) $t(x) = - 3x + 6$

d) $t(x) = - 3x - 1$

Erklärung:

Als erstes bilden wir die erste Ableitung von $f(x)$ und setzen den $x$-Wert des Punktes ein, um $m$, also die Steigung herauszufinden:

$f'(x) = - 3 \bullet x^{3 - 1} + 0 = - 3x²$

$f'(1) = - 3 \bullet (1)^{2} = - 3 \bullet 1 = - 3 = m$

Jetzt kennen wir $m$. Da $x$ und $t(x)$ mit dem Punkt in der Aufgabenstellung $(1|3)$ gegeben sind, kennen wir alle Komponenten außer $b$. Um $b$ herauszufinden, setzen wir alle Werte in $t(x) = mx + b$ ein und lösen nach $b$ auf:

$t(x) = 3$

$x = 1$

$m = - 3$

Demnach gilt:

$3 = - 3 \bullet 1 + b$

$3 = - 3 + b$ $\left| + 3 \right.\$

$6 = b$

Die vollständige Tangentengleichung lautet:

$t(x) = - 3x + 6$

c) ist die richtige Antwort.