Ableiten und Integrieren

Ableiten

Da Ableitungen und Integration Schwerpunkte der Oberstufenmathematik sind, verzichten wir auf eine Wiederholung der Grundlagen in dieser Lektion. Es ist wichtig, dass Dir das Ableiten und Integrieren von Funktionen keine Probleme bereitet. Falls es da noch Nachholbedarf gibt, wiederhole zunächst die Grundlagen und beginne danach mit der Bearbeitung der Lernsets. Sofern Du die 3 Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel) beherrschst, kannst Du selbstbewusst an die Aufgaben rangehen.

Was wir aber noch einmal aufgreifen wollen, sind die Sonderfälle bei Ableitungen. Wir listen einmal die wichtigsten Sonderfälle auf, sodass Du prüfen kannst, ob Du bereits alle im Blick hast:

$f(x) = e^{a \bullet x}$ $f'(x) = {a \bullet e}^{a \bullet x}$

$f(x) = \ln{(x)}$ $f'(x) = \frac{1}{x}$

$f(x) = \frac{1}{x}$ $f'(x) = - \frac{1}{x²}$

$f(x) = \sqrt{x}$ $f'(x) = \frac{1}{2 \bullet \sqrt{x}}$

$f(x) = a^{x}$ $f'(x) = \ln{(a) \bullet a^{x}}$

Die trigonometrischen Funktionen ableiten:

$f(x) = \sin(x)$ $f'(x) = \cos(x)$

$f(x) = \cos(x)$ $f'(x) = {- sin}(x)$

$f(x) = - \sin(x)$ $f'(x) = - \cos(x)$

$f(x) = - \cos(x)$ $f'(x) = \sin(x)$

Beispiel:

$f(x) = \frac{1}{2x} + e^{- x} + \ln(3x)$

$f'(x) = - \frac{1}{2x^{2}} - e^{- x} + \frac{1}{3x} \bullet 3 = - \frac{1}{2x^{2}} - e^{- x} + \frac{1}{x}$

Erklärung:

$\frac{1}{2x}$ wird zu $- \frac{1}{2x^{2}}$ genau so, wie oberhalb in den Beispielen dargestellt.

Bei $e^{- x}$ muss das $-$ vor dem Exponenten berücksichtigt werden. Aufgrund der Kettenregel wird $e$ negativ. Die Ableitung des Exponenten $- x$ ist $- 1$ und wird mit $e$ multipliziert.

Bei $\ln(3x)$ greift ebenfalls die Kettenregel. Die ln-Funktion ist die äußere Funktion, deshalb ist der erste Teil der Ableitung $\frac{1}{3x}$ . Allerdings muss das noch mit der inneren Ableitung multipliziert werden. Die Ableitung der inneren Funktion $3x$ ist $3$. Die Ableitung von $\ln(3x)$ entspricht also: $\frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$

Die richtige Ableitung ist demnach $f'(x) = - \frac{1}{2x^{2}} - e^{- x} + \frac{1}{x}$ .

Integrieren

Bei der Integration ist es wichtig zu unterscheiden zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen. Bestimmte Integrale sind solche, bei denen Integrationsgrenzen vorhanden sind. Somit berechnen wir also eine konkrete Fläche.

Unbestimmte Integrale haben keine Integrationsgrenzen. Bei einer solchen Integration ermitteln wir also die Menge aller Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion.

+-------------------------------------------------+---------------------------------------------+ | *Bestimmtes Integral* | *Unbestimmtes Integral* | | (Fläche) | (Stammfunktion) | +=================================================+=============================================+ | $\int_{- 2}^{3}{\left( 3x^{2} + 4 \right)dx}$ | $\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 4 \right)dx}$ | +-------------------------------------------------+---------------------------------------------+ | Ergebnis: $55$ | Ergebnis: $F(x) = x^{3} + 4x\mathbf{+ C}$ | +-------------------------------------------------+---------------------------------------------+ | Besonderheit: | Besonderheit: | | | | | Wenn wir die Fläche berechnen, müssen wir das | Da wir keine Integrationsgrenzen gegeben | | Ergebnis gegebenenfalls um sein Vorzeichen | haben und somit die Menge aller | | bereinigen, da Flächen unterhalb der X-Achse | Stammfunktionen berechnen, müssen wir bei | | mathematisch negativ sind, uns jedoch nur der | unbestimmten Integralen immer eine | | Flächeninhalt interessiert. | Konstante bei der integrierten Funktion | | | addieren ($+ C$). | +-------------------------------------------------+---------------------------------------------+