Wahrscheinlichkeits-, Dichte- und Verteilungsfunktionen

Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Diskret:

Nimmt Werte aus einem endlichen oder abzählbar unendlichen Wertesatz an.

Beispiel: Augenzahl beim Würfel

Wird beschrieben durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Stetig:

Nimmt Werte aus einem überabzählbarem, unendlichem Wertesatz an.

Beispiel: Zeit

Wird beschrieben durch eine Dichtefunktion.

** Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktionen**

Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskret)

Beispiel:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{6} \\ \ \\ 0 \\ \end{array} \right.\$

für$\ x \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$

sonst

Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind im Prinzip Stabdiagramme. Sie geben immer nur Wahrscheinlichkeiten für spezifische x-Werte an. Daher sind sie auch nicht integrierbar.

Dichtefunktion (stetig)

Beispiel:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{6 - 4} \\ \ \\ 0 \\ \end{array} \right.\$

für$\ 4 \leq x \leq 6$

sonst

Dichtefunktionen sind durchgehende Funktionen und innerhalb des Definitionsbereichs gibt es für jeden möglichen Wert eine Wahrscheinlichkeit. Daher sind sie auch integrierbar

*Verteilungsfunktionen* Verteilungsfunktionen geben die kumulierte Wahrscheinlichkeit an. Berechnen lässt sich das in Form des Integrals der Dichtefunktionen. Es gibt ähnliche Berechnungsverfahren für Wahrscheinlichkeits-funktionen, allerdings ist das thematisch nicht mehr relevant für den BaPsy, daher konzentrieren wir uns auf stetige Zufallsvariablen. Wenn wir also nach der Wahrscheinlichkeit gefragt werden, dass eine Zufallsvariable unter oder über einem bestimmten Wert liegt, dann benötigen wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit und damit die Verteilungsfunktion. Für das Rechnen mit Verteilungsfunktionen gibt es bestimmte Formeln. Wir haben hier für Dich die 4 wichtigsten aufgelistet:

$P(X \leq x) = F(x)$

$P(X < x) = F(x) - P(X = x)$

$P(X > x) = 1 - F(x)$

$P(X \geq x) = 1 - F(x) + P(X = x)$

*Beispiel:* Die folgende Dichtefunktion beschreibt die tägliche Nutzung einer Straße unter den 5 Wochentagen in 1.000 PKWs.

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 8 - 0,3x^{2} \\ 0 \end{array} \right.\$ $\begin{matrix} 0 \leq x \leq 5 \\ sonst \end{matrix}$

Wie viele PKWs haben die Straße in den ersten drei Tagen der Woche insgesamt befahren?

*Erklärung:* Da hier nach einer kumulierten Wahrscheinlichkeit (in den ersten drei Tagen) gefragt wird, müssen wir die Verteilungsfunktion bilden und mithilfe dessen die Menge der PKWs berechnen.

$F(x) = \left\{ \begin{array}{r} 8x - 0,1x^{3} \\ 0 \end{array} \right.\$ $\begin{matrix} 0 \leq x \leq 5 \\ sonst \end{matrix}$

Es wird nach der Nutzung innerhalb der ersten 3 Tage gefragt. Zwar hat das hier keinen richtigen Wahrscheinlichkeitsbezug, doch mit Blick auf die Rechengesetze für Verteilungsfunktionen entspricht das $P(X \leq 3)$. Daher müssen wir nur noch $x = 3$ in die Verteilungsfunktion einsetzen.

$P(X \leq 3) = F(3) = 8 \bullet 3 - 0,1 \bullet (3)^{3} = 24 - 2,7 = 21,3$