Statistik

Im BaPsy werden lediglich Grundlagen zur Statistik abgefragt, dennoch sollte man diese gut beherrschen, da sich die notwendigen Formeln und Schlüsse nicht spontan herleiten lassen. Im BaPsy 2024 gab es mehrere Mathematikaufgaben mit Statistikbezug, weshalb dieser Themenbereich bei der Vorbereitung nicht ausgelassen werden sollte.

Für die Vorbereitung auf den BaPsy sind vor allem die üblichen statistischen Kennzahlen, wie das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung wichtig. Aber auch einige weitere können hilfreich sein. Um die Erklärungen zu veranschaulichen, nehmen wir einen beispielhaften Datensatz zur Hand:

2	4	6	8

*Arithmetisches Mittel* Das arithmetische Mittel, auch Durchschnittswert oder Mittelwert genannt, ist ganz einfach die Summe der Werte, geteilt durch ihre Anzahl. Die Formel dazu ist:

$\overline{x} = \frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$

Zum Beispieldatensatz:

$\overline{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = \boxed{5}$

*Modus* Der Modus gibt an, welcher Wert in einer Verteilung am häufigsten vorkommt. Natürlich kann es vorkommen, dass es einen solchen Wert in einer Verteilung gar nicht gibt. Kommt jeder Wert nur einmal vor, nennen wir die Verteilung amodal, das bedeutet es gibt keinen Modus.

Zum Beispieldatensatz: Hier liegt eine amodale Datenmenge vor. Es gibt keinen Modus.

*Median* Der Median ist der Wert, der eine geordnete Datenmenge in zwei genau gleich große Hälften teilt. Mit geordnet ist hier gemeint, dass die einzelnen Werte der Größe nach geordnet sind. Man sozusagen zählt dann alle Werte bis zur Hälfte durch. Hier gibt es allerdings die Besonderheit, dass der Median bei einer ungeraden Anzahl an Werten in einer Datenmenge ablesbar ist, bei einer geraden Menge an Werten jedoch berechnet werden muss. Da die Mitte bei einer geraden Anzahl an Werten genau zwischen zwei einzelnen Werten liegt, muss hier folgendermaßen vorgegangen werden: Wir lesen die beiden nächsten Werte um den Median herum ab und bilden daraus den Durchschnittswert. Dieser Wert ist der Median.

Zum Beispieldatensatz: Da wir eine gerade Anzahl an Werten in unserer Datenmenge haben, müssen wir den Median berechnen.

$Median = \frac{4 + 6}{2} = \boxed{5}$

*Spannweite* Die Spannweite gibt die Differenz des größten und des kleinsten Wertes in einer Datenmenge an.

Zum Beispieldatensatz: $Spannweite = 8 - 2 = \boxed{6}$

*Varianz* Die Varianz gibt die quadrierte Streuung von Werten um den Mittelwert herum an. Je größer die Varianz, desto breiter sind die Werte um ihren Mittelwert gestreut. Die Berechnung gehen wir anhand des Beispiels durch.

Die allgemeine Formel zur Berechnung der Varianz lautet:

$\sigma^{2} = \frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2}$

Zum Beispieldatensatz: Bei unserer Beispiel-Datenmenge kennen wir bereits den Mittelwert $\overline{x} = 5$. Somit setzen wir nur noch in die Formel ein und rechnen aus.

$\sigma^{2} = \frac{(2 - 5)^{2} + (4 - 5)^{2} + (6 - 5)^{2} + (8 - 5)^{2}}{4} = \frac{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + (1)^{2} + (3)^{2}}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4}$

$\sigma^{2} = \frac{20}{4} = \boxed{5}$

*Standardabweichung* Die Standardabweichung ist, ebenso wie die Varianz, ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert herum. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Daher ist das Zeichen der Varianz $\sigma^{2}$ und das Zeichen der Standardabweichung $\sigma$. Um die Standardabweichung zu berechnen, müssen wir immer zuerst die Varianz berechnen und anschließend lediglich die Wurzel daraus ziehen. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Standardabweichung lautet:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2}}$

Oftmals erhalten wir bei der Berechnung der Standardabweichung kein glattes Ergebnis und müssen daher runden beziehungsweise schätzen, welche Antwortmöglichkeit die richtige ist.

Zum Beispieldatensatz: Da wir die Varianz der Beispiel-Datenmenge bereits berechnet haben, müssen wir zur Berechnung der Standardabweichung daraus lediglich noch die Wurzel ziehen.

$\sigma = \sqrt{5} \approx 2,25$

Da wir die Wurzel aus 5 nicht im Kopf berechnen können, müssen wir das Ergebnis durch das Probieren von Dezimalzahlen zwischen 2 und 3 approximieren.