Kombinatorik

Bei der Kombinatorik geht es besonders darum im Text zu erkennen, um welche Art von Aufgabe es sich handelt. Dazu gibt es 3 konkrete Fragen und wenn Du diese mithilfe des Textes klar beantworten kannst, brauchst Du nur noch in die jeweilige Formel einsetzen und auszurechnen.

Die erste Frage ist, ob es sich um eine Anordnung oder um eine Auswahl handelt. Auswahl bedeutet, dass eine bestimmte Anzahl von den Elementen aus $n$ ausgewählt werden. Bei der Anordnung werden alle Elemente aus $n$ ausgewählt und es geht hier nur noch um die Reihenfolge. Stellt sich heraus, dass es eine Anordnung ist, brauchst Du die Aufgabe auf keine weiteren Fragen zu untersuchen, da es dann sicher eine Permutation ist. Falls es sich um eine Auswahl handelt, sind die weiteren Fragen wichtig.

*Beispiel:* Lukas hat zu seinem Geburtstag 5 Weinflaschen geschenkt bekommen. Er möchte in den nächsten 5 Tagen jeden Abend einen neuen Wein probieren.

Wie viele verschiedene mögliche Reihenfolgen kann Lukas wählen, um die Weine zu probieren?

*Erklärung:* Zunächst muss die Frage geklärt werden, ob hier eine Anordnung oder eine Auswahl vorliegt. Da er 5 aus 5 Weinen auswählt, ist es ganz klar eine Anordnung. Somit steht fest, dass es sich um eine Permutation handelt und wir müssen nur noch in die Formel einsetzen und ausrechnen.

Die Formel zur Berechnung einer solchen Permutation ist $\mathbf{n}!$. Da hier $n = 5$ ist, gilt es folgendes zu berechnen:

$5! = 5 \bullet 4 \bullet 3 \bullet 2 \bullet 1 = 120$

Die richtige Antwort ist, dass Lukas 120 verschiedene Reihenfolgen wählen kann, um die Weine zu probieren.

Die zweite Frage ist, ob die Reihenfolge relevant ist oder nicht. Ist sie relevant, handelt es sich um eine Variation, ansonsten handelt es sich um eine Kombination.

*Beispiel:* Lukas hat zu seinem Geburtstag 5 Weinflaschen geschenkt bekommen. Er möchte in den nächsten 3 Tagen jeden Abend einen neuen Wein probieren.

Wie viele verschiedene mögliche Reihenfolgen kann Lukas wählen, um die Weine zu probieren?

*Erklärung:* Zunächst muss die Frage geklärt werden, ob hier eine Anordnung oder eine Auswahl vorliegt. Da er 3 aus 5 Weinen auswählt, ist es ganz klar eine Auswahl.

Als nächstes muss geklärt werden, ob hier eine Variation oder eine Kombination vorliegt. Da hier in der Frage steht, welche Reihenfolgen möglich sind, ist klar, dass die Reihenfolge von Bedeutung ist und es sich somit um eine Variation handeln muss.

Die dritte Frage ist, ob sich die Elemente aus $n$ wiederholen dürfen oder nicht. Davon ist sowohl bei der Variation als auch bei der Kombination abhängig, welche Formel genutzt werden muss.

*Beispiel:* Moritz hat 8 Filme zur Auswahl und möchte 2 ansehen. Er will aber nicht denselben Film 2-mal sehen.

Wie viele Filmkombinationen sind möglich?

*Erklärung:* Zuerst klären wir die Frage, ob hier eine Anordnung oder eine Auswahl vorliegt. Da er 2 aus 8 auswählt, ist es ganz klar eine Auswahl.

Nun schauen wir, ob die Reihenfolge hier relevant ist. Davon wird in der Aufgabenstellung nichts gesagt und da nach „Filmkombinationen" gefragt wird, nehmen wir an, dass die Reihenfolge zu vernachlässigen ist.

Jetzt ist nur noch zu klären, ob Wiederholungen stattfinden dürfen, doch das ist in der Aufgabenstellung explizit ausgeschlossen.

Somit handelt es sich hier um eine Kombination ohne Wiederholung. Die dementsprechende Formel zur Berechnung lautet: $\left( \begin{array}{r} n \\ k \end{array} \right)$

Hier ist $n = 8$ und $k = 2$, da er 8 Filme zur Auswahl hat, aber nur 2 auswählt. Somit müssen wir nur noch einsetzen und ausrechnen.

$\left( \begin{array}{r} 8 \\ 2 \end{array} \right) = \frac{8!}{2! \bullet (8 - 2)!} = \frac{8!}{2! \bullet 6!}$

Hier ist das Rechnen mit Fakultäten gefragt. Falls Du da noch nicht sicher bist, empfehlen wir Dir das noch einmal zu wiederholen. In den Aufgaben kürzt sich ein Teil des Bruches weg. Somit verschwindet $6!$ und $8!$ wird gekürzt auf $8 \bullet 7$.

$\frac{8 \bullet 7}{2 \bullet 1} = \frac{56}{2} = 28$

Die richtige Antwort wäre hier $28$.

Schaubild zur Übersicht der Formeln

Kombinatorik

Anordnung

Auswahl

Permutation

Variation

Kombination

Reihenfolge

egal

wichtig

Wieder-holung

ohne

mit

Wieder-holung

ohne

mit

$\mathbf{n!}$

$\frac{\mathbf{n!}}{\left( \mathbf{n - k} \right)\mathbf{!}}$

$\mathbf{n}^{\mathbf{k}}$

$\left( \begin{aligned} & \mathbf{n} \\ & \mathbf{k} \end{aligned} \right)$

$\left( \begin{array}{r} \mathbf{n + k - 1} \\ \mathbf{k} \end{array} \right)$

Der Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient sieht folgendermaßen aus: $\left( \begin{array}{r} n \\ k \end{array} \right)$

Dahinter verbirgt sich folgende Formel: $\left( \begin{array}{r} n \\ k \end{array} \right) = \frac{n!}{k! \bullet (n - k)!}$

Keine Sorge: Die Zahlen, mit denen man bei den Aufgaben rechnet, sind nicht kompliziert. Das Einsetzen und Ausrechen ist hier sogar der leichtere Teil. Dazu sollte man aber unbedingt das Rechnen mit Fakultäten ($n!$) können.