Problemstellungen der Vektorgeometrie

Hier wollen wir noch ein paar schwierige Aufgabentypen beziehungsweise Problemstellungen zur Vektorgeometrie aufgreifen, da einige Rechnungen und Aufgaben so nicht unbedingt in jedem Mathematik-Grundkurs behandelt werden.

*Abstand zwischen Punkt und Ebene* Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu berechnen, benötigt man eine bestimmte Formel.

$d = \frac{\left| Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} - D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C²}}$ Wobei gilt: $P\left( x_{0},y_{0},z_{0} \right)$ und $E:$ $Ax + By + Cz = D$

Sofern man diese Formel kennt und die Ebene in Koordinatenform bereits vorliegt, braucht man nur noch einsetzen.

*Beispiel:* Der Abstand zwischen Punkt $P\left( 3|7|2 \right)$ und der Ebene $E: - 6x + 3y + 6z = - 7$:

$d = \frac{\left| - 6 \bullet 3 + 3 \bullet 7 + 6 \bullet 2 - ( - 7) \right|}{\ \sqrt{( - 6)^{2} + (3)^{2} + (6)^{2}}} = \frac{| - 18 + 21 + 12 + 7|}{\ \sqrt{36 + 9 + 36}} = \frac{|22|}{\ \sqrt{81}} = \boxed{\frac{22}{\ 9}}$

*Schnittgerade zweier Ebenen* Dieser Aufgabentyp wurde im BaPsy 2024 abgefragt und hat einigen Teilnehmern Schwierigkeiten bereitet. Deshalb schauen wir uns den Lösungsweg nochmal genau an.

Um die Schnittgerade zweier Ebenen zu berechnen, muss eine Ebene in Parameterform und eine Ebene in Koordinatenform sein. Die einzelnen Lösungsschritte schauen wir uns anhand eines Beispiels an.

*Beispiel:* Die Schnittgerade zwischen $E_{1}:2x - y + 2z = 6$ und $E_{2}:\overrightarrow{r} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) + t \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$:

Schritt 1: Die Ebenengleichung in Parameterform in 3 separaten Zeilen notieren (eine Zeile pro Dimension).

$\boxed{1 + 3s + t}$ : $x$-Ebene $\boxed{0 + s + t}$ : $y$-Ebene $\boxed{2 + 2s + t}$ : $z$-Ebene

$E_{2}:\overrightarrow{r} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) + t \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ $\Rightarrow$

Schritt 2: Diese drei Zeilen für die jeweilige Dimension in die Normalenform einsetzen und ausrechnen.

$E_{1}:2 \bullet (1 + 3s + t) - (0 + s + t) + 2 \bullet (2 + 2s + t) = 6$

$E_{1}:2 + 6s + 2t - s - t + 4 + 4s + 2t = 6$

$E_{1}:2 + 4 + 6s - s + 4s + 2t + 2t - t = 6$

$E_{1}:6 + 9s + 3t = 6$

$E_{1}:9s + 3t = 0$

$E_{1}:t = - 3s$

Schritt 3: $t$ in $s$ ausgedrückt in $E_{2}$ einsetzen.

$E_{2}:\overrightarrow{r} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) - 3s \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 3s \\ s \\ 2s \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} - 3s \\ - 3s \\ - 3s \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 0 \\ - 2s \\ - s \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array} \right)$

Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:

$\boxed{\overrightarrow{g} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array} \right)}$

*Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene* Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene wird mit denselben Lösungsschritten gelöst, wie die Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen. Anstelle einer Ebene in Parameterform liegt dann eine Gerade mit nur einem Skalar vor. Nach dem Einsetzen in die Ebene in Koordinatenform erhält man in diesem Fall direkt den Wert für den Skalar, den man in die Gerade einsetzen kann, um den Schnittpunkt zu berechnen.