Die drei Formen einer Ebene und der Normalenvektor

Ebenen im Vektorraum können auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Für Aufgaben zur analytischen Geometrie werden die verschiedenen Formen häufig benötigt und Du solltest sicher gehen, sie gut zu beherrschen.

*Die Parameterform* Die Parameterform ist die häufigste Darstellungsform einer Ebene und benötigt auch am wenigsten Erklärung. Sie hat einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Die Fläche zwischen den beiden Spannvektoren stellt die Ebene dar. $E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + s \bullet \overrightarrow{b} + t \bullet \overrightarrow{c}$

Der Vektor $\overrightarrow{a}$ ist hier der Stützvektor, die Vektoren $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ sind die Spannvektoren und die Variablen $s$ und $t$ sind die Skalare, welche angeben, wie weit wir uns auf den Spannvektoren bewegen, wenn wir zum Beispiel einen bestimmten Punkt auf der Ebene beschreiben.

*Die Koordinatenform* Die Koordinatenform eignet sich in den meisten Fällen am besten zum Rechnen, weshalb es sogar bei manchen Aufgabentypen von Vorteil ist, aus der Parameterform die Koordinatenform zu berechnen. Die Koordinatenform stellt die Ebene in Form einer Gleichung dar, die für alle Punkte aufgeht, die auf der Ebene liegen.

$E:ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d$ Die Faktoren $a$, $b$ und $c$ sind die Werte des Normalenvektors der Ebene $\overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} a \\ b \\ c \end{array} \right)$.

*Die Normalenform* Die Normalenform ist die am wenigsten häufig verwendete Darstellungsform einer Ebene, sollte jedoch nicht vergessen werden, da sie durchaus in Aufgaben eine Rolle spielen kann. Die Normalenform stellt die Ebene, ähnlich wie die Koordinatenform, in Form einer Gleichung dar, die nur für Punkte aufgeht, die auf der Ebene liegen. Die Gleichung setzt das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Vektors zwischen dem eingesetzten Punkt und des Stützvektors gleich 0. Der Vektor zwischen dem eingesetzten Punkt und dem Stützvektor der Ebene ist eine Gerade auf der Ebene, sofern der eingesetzte Punkt auf der Ebene liegt. Da der Normalenvektor senkrecht auf die Ebene zeigt, stehen auch diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, sind orthogonal zueinander und haben ein Skalarprodukt von 0. Daher geht die Gleichung auch nur für Punkte auf der Ebene auf.

$E:\overrightarrow{n} \bullet \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a} \right) = 0$

$\overrightarrow{n}$ ist der Normalenvektor der Ebene, $\overrightarrow{a}$ ist der Stützvektor der Ebene und $\overrightarrow{x}$ ist der eingesetzte Punkt.

*Der Normalenvektor* Der Normalenvektor einer Ebene ist der Vektor, der senkrecht in einem 90° Winkel auf die Ebene zeigt. Er kann bei einigen Berechnungen hilfreich sein und wird für 2 von 3 Darstellungsformen einer Ebene benötigt.

Der Normalenvektor kann sowohl bei der Koordinatenform als auch bei der Normalenform einfach abgelesen werden. Allerdings ist meist die Parameterform gegeben und in diesem Fall muss man den Normalenvektor berechnen. Er lässt sich berechnen, indem man das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bildet. Wie man das Kreuzprodukt berechnet, findest Du in der Lektion zu den Grundlagen der Vektorgeometrie.

*Von der Parameterform zur Koordinatenform* Um von der Parameterform zur Koordinatenform zu kommen, benötigen wir 2 Schritte:

1. Den Normalenvektor mithilfe der Spannvektoren bilden.

2. Den Stützvektor als Testpunkt einsetzen.

*Beispiel:* Gegeben ist die Ebene $E:\overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ - 2 \\ 4 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$

Schritt 1: Wir bilden den Normalenvektor, indem wir das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnen.

$\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 0 \bullet 3 - 2 \bullet 1 \\ 2 \bullet 1 - 1 \bullet 3 \\ 1 \bullet 1 - 0 \bullet 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 0 - 2 \\ 2 - 3 \\ 1 - 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \right)$

$\overrightarrow{n} = \left( \begin{array}{r} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \right)$

Schritt 2: Wir stellen die Normalenform auf und setzen den Stützvektor der Ebene ein, da wir wissen, dass dieser Punkt auf der Ebene liegt und so berechnen können, welcher Wert auf die rechte Seite der Gleichung muss.

$E: - 2x_{1} - x_{2} + x_{3} = d$ Wir müssen $d$ herausfinden, also setzen wir den Stützvektor $\left( \begin{array}{r} 2 \\ - 2 \\ 4 \end{array} \right)$ ein. $E: - 2 \bullet 2 - ( - 2) + 4 = - 4 + 2 + 4 = 2 = d$

Somit können wir die fertige Koordinatenform aufstellen:

$\boxed{E: - 2x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2}$

Von der Parameterform zur Normalenform

Um von der Parameterform zur Koordinatenform zu kommen, benötigen wir 2 Schritte:

1. Den Normalenvektor mithilfe der Spannvektoren bilden.

2. Mithilfe des Normalenvektors und des Stützvektors die finale Gleichung aufstellen.

*Beispiel:* Gegeben ist die Ebene $E:\overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ - 2 \\ 4 \end{array} \right) + s \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \bullet \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$

Schritt 1: Wir bilden den Normalenvektor, indem wir das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnen.

Da wir den Normalenvektor bereits im Beispiel zuvor berechnet haben, nutzen wir das Zwischenergebnis.

\begin{aligned}\overrightarrow{n} = \left( \begin{array \\ r} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \right)\end{aligned} Schritt 2: Wir bilden die finale Gleichung mit dem Normalenvektor und dem Stützvektor.

$E:\overrightarrow{n} \bullet \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a} \right) = 0$

$\boxed{E:\left( \begin{array}{r} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \right) \bullet \left( \overrightarrow{x} - \left( \begin{array}{r} 2 \\ - 2 \\ 4 \end{array} \right) \right) = 0}$