Grundlagen der Vektorgeometrie

*Vektor zwischen zwei Punkten* Der Vektor zwischen zwei Punkten ($A$ und $B$) wird mit $B - A$ berechnet. Läuft der Vektor von $B$ nach $A$, dann müssen wir $A - B$ rechnen. Also kannst Du Dir merken, dass Du immer den „Zielpunkt minus den Ausgangspunkt" rechnen musst.

*Beispiel:* Der Vektor zwischen Punkt $A\left( 2| - 4|7 \right)$ und Punkt $B\left( 5|13| - 2 \right)$:

$\overrightarrow{AB} = B - A = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 13 \\ - 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{r} 2 \\ - 4 \\ 7 \end{array} \right) = \boxed{\left( \begin{array}{r} 3 \\ 17 \\ - 9 \end{array} \right)}$

*Länge eines Vektors* Für die Länge eines Vektors muss man in die entsprechende Formel einsetzen.

Die Länge des Vektors $\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right)$ entspricht $\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{\left( x_{1} \right)^{2} + \left( x_{2} \right)^{2} + \left( x_{3} \right)^{2}}$

*Beispiel:* Die Länge des Vektors $\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ - 3 \\ 6 \end{array} \right)$:

$\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{(6)^{2} + ( - 3)^{2} + (6)^{2}} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = \boxed{9}$

*Der Einheitsvektor* Der Einheitsvektor hat dieselbe Richtung wie der eigentliche Vektor, nur hat er die Länge 1. Den Einheitsvektor berechnet man, indem man den Vektor durch seine Länge teilt.

Formel: $\overrightarrow{e_{v}} = \frac{\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{v} \right|}$

Beispiel:

$\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array} \right)$

$\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\overrightarrow{e_{v}} = \frac{\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{v} \right|} = \boxed{\frac{1}{5} \bullet \left( \begin{array}{r} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array} \right)}$

*Das Skalarprodukt* Das Skalarprodukt ist eine Methode zwei Vektoren miteinander zu verrechnen. Dabei multiplizieren wir die Werte der jeweiligen Dimensionen miteinander und addieren diese Produkte, sodass wir einen Zahlenwert als Ergebnis erhalten.

Beispiel:

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)$ und $\overrightarrow{r} = \left( \begin{array}{r} - 1 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right)$:

$\left( \begin{array}{r} 7 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \bullet \left( \begin{array}{r} - 1 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right) = 7 \bullet ( - 1) + 2 \bullet 6 + 0 \bullet 9 = - 7 + 12 + 0 = \boxed{5}$

*Das Kreuzprodukt* Das Kreuzprodukt ist ebenfalls eine Methode zwei Vektoren miteinander zu verrechnen. Hierbei wird jedoch kein Zahlenwert ermittelt, sondern man erhält den Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.

Die Formel zur Berechnung des Kreuzproduktes:

$\left( \begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} a_{2} \bullet b_{3} - a_{3} \bullet b_{2} \\ a_{3} \bullet b_{1} - a_{1} \bullet b_{3} \\ a_{1} \bullet b_{2} - a_{2} \bullet b_{1} \end{array} \right)$

Um es etwas intuitiver zu berechnen, können wir den Trick anwenden, beide Vektoren zweimal untereinander zu schreiben und die erste und letzte Zeile wegzustreichen. Dann bilden wir mit diagonalen Linien drei Kreuze und gehen von oben nach unten durch, indem wir „links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben" rechnen. Macht man das für alle 3 Kreuze von oben nach unten erhält man dasselbe Schema, wie oben gezeigt, nur ist die Anwendung etwas einfacher, als die Formel auswendig zu lernen.

*Beispiel:* Das Kreuzprodukt von $\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)$ und $\overrightarrow{r} = \left( \begin{array}{r} - 1 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right)$:

$\left( \begin{array}{r} 7 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} - 1 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 2 \bullet 9 - 0 \bullet 6 \\ 0 \bullet ( - 1) - 7 \bullet 9 \\ 7 \bullet 6 - 2 \bullet ( - 1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 18 - 0 \\ 0 - 63 \\ 42 + 2 \end{array} \right) = \boxed{\left( \begin{array}{r} 18 \\ - 63 \\ 44 \end{array} \right)}$