Der Logarithmus

Die Logarithmusgesetze

Der Logarithmus ist eine sehr abstrakte Funktion und kann schnell verwirrend werden. Um gekonnt mit dem Logarithmus umgehen zu können, ist es essentiell die Logarithmusgesetze zu kennen und zu beherrschen. Wenn Du das draufhast, werden Dir die Aufgaben zum Logarithmus schnell leichtfallen.

Hier die Logarithmusgesetze für Dich im Überblick:

• $\log{(a \bullet b)} = \log{(a)} + \log{(b)}$

• $\log\left( \frac{a}{b} \right) = \log{(a)} - \log{(b)}$

• $\log\left( a^{b} \right) = {b \bullet \log}{(a)}$

• $\log_{a}{(a)} = 1$

• $\log_{a}(b) = \frac{1}{\log_{b}(a)}$

• $\log(1) = 0$ (Das gilt für jeden Logarithmus)

** Beispiel:** Gegeben ist der Term ${\log(3) + \log}\left( \frac{x}{3} \right) - \log(1)$

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Erklärung:

Hier müssen folgende Logarithmusgesetze angewandt werden:

$\log\left( \frac{a}{b} \right) = \log{(a)} - \log{(b)}$

$\log(1) = 0$

Zunächst einmal formen wir $\log\left( \frac{x}{3} \right)$ zu ${\log(x) - \log}(3)$ um.

Danach schreiben wir $\log(1)$ zu $0$ um, was somit wegfällt.

\begin{aligned}\log(3) + \log}\left( \frac{x \\ 3 \\ \right) - \log(1)\end{aligned}

$\log(3) + {\log(x) - \log}(3) - \log(1)$

$\log(3){- \log}(3) + \log(x) - \log(1)$

$\log(x) - \log(1)$

$\log(x) - 0$

$\log(x)$

Der vollständig vereinfachte Term ist $\log(x)$. Wie Du siehst, ist die Aufgabe gar nicht so kompliziert, wie sie aussehen mag, wenn Du die Logarithmusgesetze kennst. Dann gilt es nur noch, sie richtig anzuwenden und auch hier gilt: Den Rechenweg aufzuschreiben ist der beste Weg, um Fehler zu vermeiden. Nimm Dir deshalb die Zeit und schreibe sie auf, denn mit der Übung, die Du aus den Lernsets hast, wirst Du die Aufgaben dennoch unter der vorgegebenen Zeit lösen können.

Der $\mathbf{\ln}$ und $\mathbf{e}^{\mathbf{x}}$ Der $\ln$ ist der Logarithmus zur Basis $e$. Somit ergeben sich folgende Gleichungen in der Kombination von $\ln$ und $e^{x}$:

$\ln{(e^{x})} = x$

Das gilt genauso andersherum:

$e^{\ln{(x)}} = x$

Diese beiden Gleichungen solltest Du immer im Kopf haben, wenn Du eine Aufgabe mit $\ln$ und $e^{x}$ siehst.

*Beispiel:* Gegeben ist der Term $\frac{\ln(e^{4x})}{e^{\ln(2)}}$

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Erklärung:

Der Term sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, doch wenn Du die Kombination von $\ln$ und $e^{x}$ siehst, kannst Du beruhigt sein, denn dann kann meistens sehr viel vereinfacht werden.

Der Term wird folgendermaßen vereinfacht:

$\frac{\ln(e^{4x})}{e^{\ln(2)}}$

$\ln(e^{4x})$ wird zu $4x$:

$\frac{4x}{e^{\ln(2)}}$

$e^{\ln(2)}$ wird zu $2$:

$\frac{4x}{2}$

Jetzt muss nur noch der Bruch gekürzt werden.

$2x$ ist das richtige Ergebnis.