Binomische Formeln und Faktorisieren

Die binomischen Formeln kennst Du mit Sicherheit schon. In den Aufgaben dieses Untertests müssen sie häufig angewendet werden, deshalb solltest Du sie unbedingt wiederholen, falls Du darin noch nicht sicher bist.

Hier noch einmal die drei binomischen Formeln im Überblick:

1. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b²$

2. $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b²$

3. $(a + b) \bullet (a - b) = a^{2} - b²$

Ebenfalls häufig vertreten ist das Faktorisieren durch binomische Formeln. Das ist sozusagen das Rückwärtsrechnen von binomischen Formeln.

Hier ein Beispiel:

$x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)²$

Du klammerst also die Faktoren aus, sodass Du eine der binomischen Formeln erhältst. Das kann am Anfang schwer zu erkennen sein, doch mit etwas Übung wirst Du die Muster schnell finden und nur noch die Zahlen ablesen und einsetzen müssen. Da es 3 binomische Formeln gibt, gibt es auch 3 typische Strukturen von Termen, die faktorisiert werden sollen. Um zu entscheiden, um welche binomische Formel es sich handelt, sind zwei Dinge entscheidend:

1. Zuerst muss entschieden werden, ob $2ab$ vorliegt oder nicht. Falls nicht, dann liegt die 3. binomische Formel vor.

*Beispiel:* ${9x}^{2} + 12x + 4$

*Erklärung:* Hier kann man schnell erkennen, dass ${9x}^{2} = a²$ und $4 = b²$ ist. Da wir noch einen weiteren Summanden haben ($12x$), muss es sich hier um $2ab$ handeln. Somit kann es entweder die 1. oder die 2. binomische Formel sein.

Wäre der zu faktorisierende Term ${9x}^{2} + 4$ , dann wüssten wir, dass kein $2ab$ vorhanden ist und somit die 3. binomische Formel vorliegt.

2. Sobald man feststellt, dass $2ab$ vorliegt, muss man auf das Rechenzeichen davor achten. Denn $a^{2}$ und $b^{2}$ sind bei der 1. und 2. binomischen Formel immer positiv. Die 1. und die 2. binomische Formel können beim Faktorisieren also nur anhand des Vorzeichens von $2ab$ unterschieden werden. Da $2ab$ hier $+ 12x$ ist, liegt die erste binomische Formel vor.

*Beispiel:* $y^{2} - 6y + 9$

*Erklärung:* Hier kann man wieder schnell erkennen, dass $y² = a²$ ist und $9 = b²$ ist. Da wir noch einen weiteren Summanden haben ($6y$), muss es sich hier um $2ab$ handeln. Jetzt gilt es das Rechenzeichen vor $6y$ zu deuten. Da es hier ein Minus ist, muss die 2. binomische Formel vorliegen.

Wenn wir nun die binomische Formel festgestellt haben, müssen wir nur noch die Zahlen in die binomische Formel einsetzen. Dazu müssen wir nur $a$ und $b$ ermitteln.

$y² = a²$ $\left| \sqrt{\ } \right.\$

$y = a$

$9 = b²$ $\left| \sqrt{\ } \right.\$

$3 = b$

Da wir wissen, dass es sich um die 2. binomische Formel handelt, müssen wir die beiden Werte nur noch in $(a - b)^{2}$ einsetzen.

Das richtige Ergebnis ist: $(y - 3)^{2}$