Betragsstriche

Betragsstriche sind wohl einer der weniger intuitiven Operatoren in der Mathematik. Die Betragsstriche bereinigen die Zahl beziehungsweise den Term um das Vorzeichen, was bedeutet, dass alles, was innerhalb dieser Striche steht, automatisch ein positives Vorzeichen hat.

$| - a| = a$

$|a| = a$

Für $a \in \mathbb{R}$

Betragsstriche können durchaus in den Aufgaben vorkommen und man sollte darauf vorbereitet sein, da sie eine bestimmte Herangehensweise erfordern, um gelöst zu werden.

Oftmals wird eine Gleichung mit Betragsstrichen gegeben und man muss ermitteln, welchen Wert beziehungsweise welche Werte $x$ annehmen kann. Bei solchen Aufgaben muss man aus der Gleichung zwei Gleichungen machen, denn es gibt sozusagen 2 Szenarien: Der Ausdruck in der Klammer ist entweder bereits positiv oder wird durch die Betragsstriche positiv gemacht. Durch die Betragsstriche führen beide Szenarien zum selben Ergebnis. Um das zu veranschaulichen, nutzen wir ein Beispiel und wenden es direkt praktisch an.

*Beispielaufgabe:* Gegeben ist die Gleichung $|x - 7| = 10$ Welche Werte kann $x$ annehmen?

*Erklärung:* Der Term innerhalb der Betragsstriche muss vorzeichenbereinigt den Wert $10$ haben. Das bedeutet aber, dass $x - 7$ entweder $10\$oder $- 10\$ergeben kann. Denn durch die Betragsstriche wird beides zu $10$. Demnach bilden wir zwei Gleichungen:

$x - 7 = 10$ $\Rightarrow$ $x = 17$

$x - 7 = - 10$ $\Rightarrow$ $x = - 3$

In beiden Fällen würde die Gleichung aufgehen, daher sind hier $- 3$ und $17$ die richtigen Lösungen.

Zu Aufgaben mit Betragsstrichen kannst Du Dir also merken, dass es mehrere Lösungen gibt und alle relevant sind. Bei einfacheren Aufgaben kann hier aber auch mit Einsetzen in kurzer Zeit die richtige Antwort ermittelt werden.