Komplexe Kombinationen von Operatoren

In den letzten beiden Kapiteln hast Du einige übliche Kombinationen von Operatoren kennengelernt. Ein großer Teil der Aufgaben baut auf diesen Kombinationen auf, weshalb es wichtig ist, diese gut zu beherrschen. Allerdings können die Operatoren noch weitergehend kombiniert werden. Genau genommen sind den Kombinationen kaum Grenzen gesetzt. Im BaPsy kommen auch Sätze vor, die drei oder vier Operatoren enthalten.

Dass es mehr als 3 Operatoren in einem Satz gibt, ist eher bei wenigen Aufgaben der Fall, aber es kann durchaus vorkommen. Zwar wirken diese langen Sätze besonders, wenn sie drei oder vier Operatoren enthalten, auf den ersten Blick etwas kompliziert und abschreckend, doch häufig ist das Schlussfolgern gar nicht viel schwieriger als bei den gewohnten Verknüpfungen. Dafür gewinnt man aber meist noch mehr Informationen, da so viele Aussagen enthalten sind. Lass Dich also nicht entmutigen, wenn eine Aufgabe auf den ersten Blick sehr komplex wirkt. Wenn Du alle Lektionen in diesem Buch gründlich durcharbeitest, dann bist Du bestens vorbereitet, alle Arten von Aufgaben beim Üben erfolgreich zu lösen.

Für das Lösen dieser Aufgaben ist es wichtig zu wissen, dass die logischen Operatoren unterschiedlich stark binden. Treffen in einem Satz mehrere Operatoren aufeinander, muss festgelegt werden, welche Teile der Aussage zuerst zusammengehören. Diese Entscheidung erfolgt nach der Bindungsstärke der Operatoren.

Dabei gilt folgende Reihenfolge:

1. Konjunktion („und")

2. Disjunktion („oder")

3. Äquivalenz („genau dann, wenn")

Grundsätzlich hat die Reihenfolge der Operatoren keinen Einfluss darauf, welche Aussagen zuerst zusammengehören. Es zählt also ausschließlich die Bindungsstärke.

Schauen wir uns als Beispiel folgendes Schema an:

Wenn wir einen Satz mit einem und-Operator und einem oder-Operator gegeben haben, dann bindet das „und" stärker als das „oder". Deshalb betrachten wir in dem Beispiel „B und C" zusammen und nicht „A oder C". Dabei ist, wie im Schaubild zu sehen, die Reihenfolge unerheblich. In der oder-Verknüpfung behandeln wir die Seite der und-Verknüpfung wie eine Aussage, die in Gänze wahr oder falsch ist.

Leider gibt es zu viele mögliche Kombinationen von Sätzen mit mehreren Operatoren, um sie alle aufzuführen und im Detail zu erklären. Wir schauen uns aber im Folgenden ein paar schwierige Fälle anhand von Beispielen dazu an.

Beispiel 1: Björn gründet ein erfolgreiches Unternehmen oder Hendryk investiert in ein Startup und Axel plant einen Börsengang. Hendryk investiert in kein Startup.

Erklärung: Es ist gegeben, dass Hendryk in kein Startup investiert (unabhängiger Fakt), was bedeutet, dass die erste Aussage in der und-Verknüpfung falsch ist. Demnach kann die Bedingung der und-Verknüpfung von zwei wahren Aussagen gar nicht mehr erfüllt sein und sie ist in Gänze falsch. Da offenbleibt, ob nur eine oder beide Aussagen in der und-Verknüpfung falsch sind, kann über Axel nicht entschieden werden. Wir wissen nun, dass die rechte Seite der oder-Verknüpfung falsch ist. Da mindestens eine der beiden Seiten korrekt sein muss, ist die einzelne Aussage sicher wahr. Somit schlussfolgern wir, dass Björn ein erfolgreiches Unternehmen gründet.

Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:

Hendryk investiert in kein Startup. Björn gründet ein erfolgreiches Unternehmen. Ob Axel einen Börsengang plant, kann nicht entschieden werden.

Hier das Beispiel als Schaubild:

Beispiel 2: Nina malt genau dann, wenn Moritz singt oder Lara Klavier spielt oder Lutz komponiert. Nina malt nicht.

Erklärung: Es ist gegeben, dass Nina nicht malt (unabhängiger Fakt), was bedeutet, dass die linke Seite des „genau dann, wenn" falsch ist. Demnach muss auch die rechte Seite in Gänze falsch sein. Die Bedingung der doppelten oder-Verknüpfung von mindestens einer wahren Aussage ist also nicht erfüllt. Somit schlussfolgern wir, dass alle drei Aussagen auf der rechten Seite des „genau dann, wenn" falsch sein müssen. Das bedeutet, dass Moritz nicht singt, Lara kein Klavier spielt und Lutz nicht komponiert.

Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:

Nina malt nicht. Moritz singt nicht. Lara Klavier spielt nicht. Lutz komponiert nicht.

Hier das Beispiel als Schaubild:

Beispiel 3: Andreas geht joggen und Mert fährt Kayak, genau dann, wenn Sophie rudert oder Georg nicht wandern geht. Sophie rudert.

Erklärung: Es ist gegeben, dass Sophie rudert (unabhängiger Fakt), was bedeutet, dass die Bedingung der oder-Verknüpfung von mindestens einer wahren Aussage erfüllt ist. Also ist die oder-Verknüpfung in Gänze und somit die rechte Seite des „genau dann, wenn" korrekt. Da offenbleibt, ob nur eine oder beide Aussagen in der oder-Verknüpfung wahr sind, kann über Georg nicht entschieden werden. Da die rechte Seite des „genau dann, wenn" korrekt ist, muss äquivalent auch die linke Seite korrekt sein. Das bedeutet, dass die Bedingung der und-Verknüpfung von zwei wahren Aussagen erfüllt sein muss. Somit schlussfolgern wir, dass Andreas joggen geht und Mert Kayak fährt.

Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:

Sophie rudert. Andreas geht joggen. Mert fährt Kayak. Ob Georg wandern geht, kann nicht entschieden werden.

Hier das Schema als Schaubild:

Beispiel 4: Sabine lernt Mathematik und Katrin liest englische Texte oder Simon gibt Nachhilfe und Friedrich schreibt keine Karteikarten. Simon gibt keine Nachhilfe.

Erklärung: Es ist gegeben, dass Simon keine Nachhilfe gibt (unabhängiger Fakt), was bedeutet, dass die Bedingung der und-Verknüpfung von zwei wahren Aussagen nicht erfüllt ist. Demnach ist die rechte Seite der oder-Verknüpfung in Gänze falsch. Da offenbleibt, ob nur eine oder beide Aussagen in der und-Verknüpfung falsch sind, kann über Friedrich nicht entschieden werden. Um die Bedingung der oder-Verknüpfung in der Mitte zu erfüllen, muss die linke Seite in Gänze korrekt sein. Somit schlussfolgern wir, dass Sabine Mathematik lernt und Katrin englische Texte liest.

Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:

Simon gibt keine Nachhilfe. Sabine lernt Mathematik. Katrin liest englische Texte. Ob Friedrich Karteikarten schreibt, kann nicht entschieden werden.

Hier das Schema als Schaubild:

Beispiel 5: Dan angelt nicht gerne oder Lisa kauft ein Zelt und Walter macht einen Angelschein oder Peter liegt krank im Bett. Walter macht keinen Angelschein und Peter liegt nicht krank im Bett.

Erklärung: Es ist gegeben, dass Walter keinen Angelschein macht und Peter nicht krank im Bett liegt (unabhängige Fakten). Da eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung falsch ist, ist die Bedingung von zwei wahren Aussagen nicht erfüllt und sie ist in Gänze falsch. Es bleibt offen, ob nur eine oder beide Aussagen in der und-Verknüpfung falsch sind, daher kann über Lisa nicht entschieden werden. Bei der Aufgabe liegt eine doppelte oder-Verknüpfung vor, wobei die mittlere Komponente eine und-Verknüpfung ist. Es gilt nach wie vor, dass mindestens eine der drei Komponenten korrekt sein muss. Da die rechte einzelne Aussage und auch die und-Verknüpfung in Gänze falsch sind, muss die einzelne Aussage auf der linken Seite wahr sein. Somit schlussfolgern wir, dass Dan nicht gerne angelt.

Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:

Walter macht keinen Angelschein. Peter liegt nicht krank im Bett. Ob Lisa ein Zelt kauft, kann nicht entschieden werden. Dan angelt nicht gerne.

Hier das Schema als Schaubild: