In dieser Lektion schauen wir uns eine weitere Kombinationen von Operatoren an -- die Kombination von „genau dann, wenn" & und. Auf der einen Seite des „genau dann, wenn" steht eine einzelne Aussage und auf der anderen Seite steht die und-Verknüpfung mit 2 Aussagen. Der Aufbau ist also derselbe, wie bei „genau dann, wenn" & oder.
Diese Kombinationen von Operatoren hat zwar ähnliche, aber doch andere Schwierigkeiten und Sonderfälle als die Kombination mit oder. Auch hier betrachten wir die und-Verknüpfung in Gänze und behandeln sie beim Schlussfolgern durch das „genau dann, wenn" wie eine Aussage. Es kann von der einzelnen Aussage auf die Aussagen in der und-Verknüpfung geschlussfolgert werden und andersherum. Wichtig ist beim Schlussfolgern immer erst auf die ganze und-Verknüpfung zu schließen und dann auf die einzelnen Aussagen.
Auch bei dieser Kombination von Operatoren gibt es viele verschiedene Konstellationen an möglichen gegeben Fakten. Wir schauen uns jede davon einzeln an und durch den QR-Code am Anfang der Lektionen kommst Du zu einer Übersicht mit Schaubildern zu jedem Schema, das bei dieser Kombination vorkommen kann.
Nur die einzelne Aussage ist gegeben
Sofern nur die einzelne Aussage bekannt ist, gibt es nur 2 mögliche Fälle -- sie kann richtig oder falsch sein. Wir schauen uns zuerst den Fall an, bei dem sie richtig ist.
Schema 1:
Ist die einzelne Aussage richtig, ist aufgrund des „genau dann, wenn" die erste Schlussfolgerung, dass die andere Seite denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die und-Verknüpfung in Gänze richtig ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir auf die einzelnen Aussagen. Im Gegensatz zum oder-Operator ist die Bedingung des und-Operators, dass beide Aussagen richtig sind. Da die und-Verknüpfung hier in Gänze richtig ist, müssen beide Aussagen richtig sein.
Schema 2:
Ist die einzelne Aussage falsch, ist aufgrund des „genau dann, wenn" die erste Schlussfolgerung, dass die andere Seite denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist. Im zweiten Schritt versuchen wir auf die einzelnen Aussagen zu schließen. Wenn die und-Verknüpfung falsch ist, können wir nicht auf die beiden Aussagen darin schlussfolgern, da wir nicht wissen, ob nur eine oder beide Aussagen falsch sind. Beide Fälle führen dazu, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist. Demnach können wir über die beiden Aussagen nicht entscheiden.
Beide Aussagen in der und-Verknüpfung sind gegeben
Wenn beide Aussagen in der und-Verknüpfung gegeben sind, gibt es drei mögliche Fälle -- sie können beide richtig, beide falsch oder eine richtig und eine falsch sein. In jedem Fall kann klar auf die einzelne Aussage geschlussfolgert werden, da wir den Wahrheitsgehalt der und-Verknüpfung in Gänze direkt feststellen können.
Schema 3:
Ist gegeben, dass die beiden Aussagen in der und-Verknüpfung richtig sind, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die und-Verknüpfung in Gänze richtig ist, da die Bedingung von zwei richtigen Aussagen erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls richtig ist.
Schema 4:
Ist gegeben, dass die beiden Aussagen in der und-Verknüpfung falsch sind, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist, da die Bedingung von zwei richtigen Aussagen nicht erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls falsch ist.
Schema 5:
Ist gegeben, dass eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung richtig ist und eine falsch ist, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist, da die Bedingung von zwei richtigen Aussagen nicht erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls falsch ist.
Nur eine Aussage in der und-Verknüpfung ist gegeben
Ist nur eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung gegeben, gibt es nur 2 mögliche Fälle -- sie kann richtig oder falsch sein. Wir schauen uns zuerst den Fall an, bei dem sie richtig ist.
Schema 6:
Ist gegeben, dass eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung richtig ist, können wir keine Aussage über die und-Verknüpfung in Gänze treffen, da nicht gesagt werden kann, ob die Bedingung von 2 richtigen Aussagen erfüllt ist oder nicht. Da wir nicht über die und-Verknüpfung in Gänze entscheiden können, können wir auch nicht auf den Wahrheitsgehalt der anderen Seite des „genau dann, wenn" schließen. Das bedeutet, über die einzelne Aussage kann ebenfalls nicht entschieden werden.
Schema 7:
Ist gegeben, dass eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung falsch ist, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist, da die Bedingung von 2 richtigen Aussagen nicht erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls falsch ist. Über die andere Aussage in der und-Verknüpfung kann nicht entschieden werden.
Die einzelne Aussage und eine Aussage in der und-Verknüpfung sind gegeben
Wenn sowohl die einzelne Aussage als auch eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung gegeben sind, gibt es nur 3 mögliche Fälle. Das Ziel ist hier auf die zweite Aussage in der und-Verknüpfung zu schließen.
Schema 8:
Ist gegeben, dass sowohl die einzelne Aussage als auch eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung richtig sind, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten den gleichen Wahrheitsgehalt haben, was hier bedeutet, dass die und-Verknüpfung in Gänze richtig ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die zweite Aussage in der und-Verknüpfung richtig ist, da die Bedingung von 2 richtigen Aussagen erfüllt sein muss.
Schema 9:
Es ist gegeben, dass die einzelne Aussage falsch ist, eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung jedoch richtig ist. Hier schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten den gleichen Wahrheitsgehalt haben, was hier bedeutet, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist. Das bedeutet, dass die Bedingung von zwei richtigen Aussagen nicht erfüllt ist. Somit schlussfolgern wir, dass die zweite Aussage in der und-Verknüpfung falsch sein muss.
Schema 10:
Es ist gegeben, dass sowohl die einzelne Aussage als auch eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung falsch sind. Hier schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten den gleichen Wahrheitsgehalt haben, was hier bedeutet, dass die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist. Die Bedingung der und-Verknüpfung ist bereits nicht erfüllt, wenn nur eine Aussage falsch ist, weshalb wir im nächsten Schritt nicht über die zweite Aussage in der und-Verknüpfung entscheiden können.
Verständnisfrage
*Wieso kann es nicht vorkommen, dass die einzelne Aussage richtig ist und eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung falsch ist?
Erklärung: Wenn eine der beiden Aussagen in der und-Verknüpfung falsch ist, ist die Bedingung von 2 richtigen Aussagen nicht erfüllt und die Verknüpfung ist automatisch in Gänze falsch. Da aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten denselben Wahrheitsgehalt haben müssen, würde hier ein Widerspruch vorliegen, wenn die einzelne Aussage richtig wäre.*
Genug Theorie! Jetzt einige Beispiele, damit Du praktisch nachvollziehen kannst, wie das Ganze anzuwenden ist.
Beispiel 1: Yvonne joggt genau dann, wenn Julius turnt und Karl malt. Julius turnt und Karl malt.
Erklärung: Da die beiden Aussagen in der und-Verknüpfung richtig sind, ist die Verknüpfung in Gänze richtig. Da die rechte Seite des „genau dann, wenn" richtig ist, muss auch die Aussage auf der linken Seite richtig sein.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Julius turnt. Karl malt. Yvonne joggt.
Beispiel 2: Yvonne joggt genau dann, wenn Julius turnt und Karl malt. Julius turnt und Yvonne joggt nicht.
Erklärung: Es ist gegeben, dass Yvonne nicht joggt (unabhängiger Fakt), was bedeutet, dass die linke Seite des „genau dann, wenn" falsch ist. Demnach muss auch die und-Verknüpfung auf der rechten Seite in Gänze falsch sein, was bedeutet, dass die Bedingung von zwei richtigen Aussagen nicht erfüllt ist. Da gegeben ist, dass Julius turnt (unabhängiger Fakt), ist bereits eine der beiden Aussagen richtig. Somit schlussfolgern wir, dass die andere Aussage falsch sein muss, was bedeutet, dass Karl nicht malt.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Julius turnt. Karl malt nicht. Yvonne joggt nicht.
Beispiel 3: Florian lernt genau dann, wenn Max rechnet und Eva studiert. Florian lernt nicht.
Erklärung: Es ist gegeben, dass Florian nicht lernt (unabhängiger Fakt), weshalb die linke Seite des „genau dann, wenn" falsch ist. Daher muss auch die und-Verknüpfung auf der rechten Seite in Gänze falsch sein. Wenn die und-Verknüpfung in Gänze falsch ist, lässt das jedoch offen, ob nur eine oder beide Aussagen falsch sind. Daher können wir über keine der beiden Aussagen darin entscheiden.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Florian lernt nicht. Ob Max rechnet, kann nicht entschieden werden. Ob Eva studiert, kann nicht entschieden werden.
Beispiel 4: Maria ist genau dann glücklich, wenn Ida heiratet und Stefan reich ist. Ida heiratet.
Erklärung: Es ist gegeben, dass Ida heiratet (unabhängiger Fakt), was allerdings nicht darauf schlussfolgern lässt, ob die und-Verknüpfung in Gänze richtig ist, oder nicht. Das bedeutet, dass wir weder über die zweite Aussage in der und-Verknüpfung, noch über die einzelne Aussage entscheiden können.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Ida heiratet. Ob Stefan reich ist, kann nicht entschieden werden. Ob Maria glücklich ist, kann nicht entschieden werden.