Wie Du Dir bestimmt vorstellen kannst, können Operatoren miteinander verknüpft werden. Dadurch werden mehr als 2 Aussagen in einem Satz miteinander verbunden. In dieser Lektion schauen wir uns eine der häufigsten Kombinationen von Operatoren an -- die Kombination von „genau dann, wenn" & oder. Auf der einen Seite des „genau dann, wenn" steht eine einzelne Aussagen und auf der anderen Seite steht die oder-Verknüpfung mit 2 Aussagen.
Diese Kombinationen von Operatoren bringen natürlich neue Schwierigkeiten und Sonderfälle mit sich und erfordern auch einen weiteren Schritt in der Schlussfolgerung. Wir betrachten die oder-Verknüpfung in diesem Fall in Gänze wie eine Aussage. Das bedeutet, wenn die Bedingung der oder-Verknüpfung erfüllt ist, da mindestens eine der beiden Aussagen darin richtig ist, dann ist die oder- Verknüpfung in Gänze richtig. Es kann auch durch das „genau dann, wenn" auf die oder-Verknüpfung in Gänze geschlossen werden. Ist die einzelne Aussage richtig, muss auch die andere Seite des „genau dann, wenn" denselben Wahrheitsgehalt haben, was hier bedeutet, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist.
Merke Dir also, bei der Schlussfolgerung musst Du immer zuerst auf die oder-Verknüpfung in Gänze schließen und dann auf die einzelnen Aussagen.
Mit 3 Aussagen in einem Satz gibt es natürlich viele verschiedene Konstellationen an möglichen gegeben Fakten. Wir schauen uns jede davon einzeln an und durch den QR-Code am Anfang der Lektionen kommst Du zu einer Übersicht mit Schaubildern zu jedem Schema, das bei dieser Kombination vorkommen kann.
Nur die einzelne Aussage ist gegeben
Sofern nur die einzelne Aussage bekannt ist, gibt es nur 2 mögliche Fälle -- sie kann richtig oder falsch sein. Wir schauen uns zuerst den Fall an, bei dem sie richtig ist.
Schema 1:
Ist die einzelne Aussage richtig, ist aufgrund des „genau dann, wenn" die erste Schlussfolgerung, dass die andere Seite denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist. Im zweiten Schritt versuchen wir auf die einzelnen Aussagen zu schließen. Das ist hier leider nicht möglich, da die Bedingung des oder-Operators voraussetzt, dass mindestens eine Aussage richtig ist. Das lässt offen, ob eine oder beide Aussagen richtig sind, und falls nur eine, welche Aussage richtig ist. Daher können wir über keine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung entscheiden.
Schema 2:
Ist die einzelne Aussage falsch, ist aufgrund des „genau dann, wenn" die erste Schlussfolgerung, dass die andere Seite denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die oder-Verknüpfung in Gänze falsch ist. Im zweiten Schritt versuchen wir auf die einzelnen Aussagen zu schließen. Sofern die oder-Verknüpfung falsch ist, bedeutet das, dass die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage nicht erfüllt ist. Demnach schlussfolgern wir, dass die beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung ebenfalls falsch sind.
Beide Aussagen in der oder-Verknüpfung sind gegeben
Wenn beide Aussagen in der oder-Verknüpfung gegeben sind, gibt es drei mögliche Fälle -- sie können beide richtig, beide falsch oder eine richtig und eine falsch sein. In jedem Fall kann klar auf die einzelne Aussage geschlussfolgert werden, da wir den Wahrheitsgehalt der oder-Verknüpfung in Gänze direkt feststellen können.
Schema 3:
Ist gegeben, dass die beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig sind, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist, da die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage klar erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" den-selben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls richtig ist.
Schema 4:
Ist gegeben, dass die beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung falsch sind, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die oder-Verknüpfung in Gänze falsch ist, da die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage nicht erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" den- selben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls falsch ist.
Schema 5:
Ist gegeben, dass eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig ist und eine falsch ist, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist, da die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" denselben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls richtig ist.
Nur eine Aussage in der oder-Verknüpfung ist gegeben
Wenn nur eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung gegeben ist, gibt es nur 2 mögliche Fälle -- sie kann richtig oder falsch sein. Wir schauen uns zuerst den Fall an, bei dem sie richtig ist.
Schema 6:
Ist gegeben, dass eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig ist, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist, da die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage erfüllt ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass die andere Seite des „genau dann, wenn" den-selben Wahrheitsgehalt hat, was hier bedeutet, dass die einzelne Aussage ebenfalls richtig ist. Über die zweite Aussage innerhalb der oder-Verknüpfung kann jedoch nicht entschieden werden, da die Bedingung des oder-Operators offenlässt, ob nur eine oder beide Aussagen richtig sind.
Schema 7:
Ist gegeben, dass eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung falsch ist, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass über den Wahrheitsgehalt der oder-Verknüpfung in Gänze nicht entschieden werden kann, da wir keine Informationen über die zweite Aussage haben und somit nicht wissen, ob eine der Aussagen richtig ist. Im zweiten Schritt schlussfolgern wir, dass wir demnach weder über die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung, noch über die einzelne Aussage entscheiden können.
Die einzelne Aussage und eine Aussage in der oder-Verknüpfung sind gegeben
Wenn sowohl die einzelne Aussage als auch eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung gegeben sind, gibt es nur 3 mögliche Fälle. Das Ziel ist hier auf die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung zu schließen.
Schema 8:
Ist gegeben, dass die einzelne Aussage und eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig sind, schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist, da die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage bereits erfüllt ist. Da die Bedingung offenlässt, ob eine oder beide Aussagen richtig sind, kann über die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung nicht entschieden werden.
Schema 9:
Es ist gegeben, dass die einzelne Aussage richtig ist, eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung jedoch falsch ist. Hier schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten den gleichen Wahrheitsgehalt haben, was hier bedeutet, dass die oder-Verknüpfung in Gänze richtig ist. Das bedeutet, dass die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage erfüllt ist. Somit schlussfolgern wir, dass die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung richtig sein muss.
Schema 10:
Es ist gegeben, dass sowohl die einzelne Aussage als auch eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung falsch sind. Hier schlussfolgern wir im ersten Schritt, dass aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten denselben Wahrheitsgehalt haben, was hier bedeutet, dass die oder-Verknüpfung in Gänze falsch ist. Das bedeutet, dass die Bedingung von mindestens einer richtigen enthaltenen Aussage nicht erfüllt ist. Demnach schlussfolgern wir, dass die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung ebenfalls falsch ist.
Verständnisfrage
*Wieso kann es nicht vorkommen, dass die einzelne Aussage falsch ist und eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig ist?
Erklärung: Wenn eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig ist, ist die Bedingung von mindestens einer richtigen Aussage bereits erfüllt und die oder-Verknüpfung ist automatisch in Gänze richtig. Da aufgrund des „genau dann, wenn" beide Seiten denselben Wahrheitsgehalt haben müssen, würde hier ein Widerspruch vorliegen, wenn die einzelne Aussage falsch wäre.*
Genug Theorie! Jetzt einige Beispiele, damit Du praktisch nachvollziehen kannst, wie das Ganze anzuwenden ist.
Beispiel 1: Gabriel backt genau dann, wenn Miriam zu Hause ist oder Cara musiziert. Gabriel backt und Cara musiziert.
Erklärung: Da wir wissen, dass Gabriel backt (unabhängiger Fakt), ist bekannt, dass die einzelne Aussage richtig ist und somit auch mindestens eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig sein muss. Wir wissen auch, dass Cara musiziert (unabhängiger Fakt). Die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung kann richtig oder falsch sein. Das kann hier nicht entschieden werden.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Cara musiziert. Gabriel backt. Ob Miriam zu Hause ist, kann nicht entschieden werden.
Beispiel 2: Gustav lernt genau dann, wenn Robert arbeitet oder Sina nicht studiert. Gustav lernt und Sina studiert.
Erklärung: Da wir wissen, dass Gustav lernt, ist bekannt, dass die einzelne Aussage auf der linken Seite des „genau dann, wenn" richtig ist. Somit ist die oder-Verknüpfung in Gänze richtig, was bedeutet, dass mindestens eine der beiden Aussagen der oder-Verknüpfung richtig sein muss. Es ist auch gegeben, dass Sina studiert (unabhängiger Fakt). Demnach ist bereits eine der Aussagen der oder-Verknüpfung falsch und somit muss die andere Aussage in der Oder-Verknüpfung richtig sein. Wir schlussfolgern also, dass Robert arbeitet.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Gustav lernt. Sina studiert. Robert arbeitet.
Beispiel 3: Nima liest genau dann nicht, wenn Olaf nicht zu Hause ist oder Robert das Auto wäscht. Robert wäscht das Auto.
Erklärung: Da gegeben ist, dass Robert das Auto wäscht (unabhängiger Fakt), wissen wir, dass eine der beiden Aussagen der oder-Verknüpfung richtig ist. Somit ist die oder-Verknüpfung in Gänze richtig und aufgrund des „genau dann, wenn" muss auch die einzelne Aussage richtig sein. Deshalb wissen wir, dass Nima nicht liest. Über die zweite Aussage in der oder-Verknüpfung kann nicht entschieden werden, da die Bedingung des oder-Operators offen lässt, ob eine oder beide Aussagen richtig sind.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Robert wäscht das Auto. Nima liest nicht. Ob Olaf zu Hause ist, kann nicht entschieden werden.
Beispiel 4: Valerie läuft genau dann nicht, wenn der Bus fährt oder Lucie Fahrrad fährt. Valerie läuft nicht.
Erklärung: Da gegeben ist, dass Valerie nicht läuft (unabhängiger Fakt), wissen wir, dass die Aussage auf der linken Seite des „genau dann, wenn" richtig ist. Dementsprechend ist die oder-Verknüpfung auf der rechten Seite in Gänze richtig, was bedeutet, dass mindestens eine der beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung richtig sein muss. Allerdings kann bei beiden Aussagen in der oder-Verknüpfung nicht entschieden, ob sie richtig ist, oder nicht.
Die vollständige Schlussfolgerung wäre hier folgendermaßen:
Valerie läuft nicht. Ob Lucie Fahrrad fährt, kann nicht entschieden werden. Ob der Bus fährt, kann nicht entschieden werden.