Mit Anteilen rechnen

Ein großer Bestandteil der Aufgaben dieses Untertests enthält Rechenschritte in denen mit Anteilen gearbeitet wird. Dabei muss die Aufgabe selbst nicht unbedingt etwas mit Anteilen zu tun haben, aber ein Teil des Rechenweges erfordert dennoch, schnell im Kopf mit Anteilen rechnen zu können. Deshalb sollte genau das ein zentraler Baustein Deiner Vorbereitung sein.

Dein Ziel sollte es am Ende sein möglichst schnell und fehlerfrei zum richtigen Ergebnis zu kommen oder nah genug an das richtige Ergebnis heranzukommen, um alle anderen Antwortmöglichkeiten ausschließen zu können. Dafür muss man aber zunächst verstehen, womit man es hier zu tun hat. Oft muss man einen Anteil von etwas berechnen oder von einem Anteil auf das Ganze schließen -- dabei ist es völlig egal, ob ein Bruch oder eine Dezimalzahl verwendet wird.

Fangen wir mit einem leichten Beispiel an:

Beispiel 1:

Ein Lieferant liefert 120 Kuchen, von denen 20 % Schokoladenkuchen sind.

Wie hoch ist die Anzahl der Schokoladenkuchen?

a) 22

b) 24

c) 26

d) 30

Diese Aufgabe ist relativ simpel, da der Aufbau sehr übersichtlich ist und nur ein einziger Rechenschritt benötigt wird, um zum richtigen Ergebnis zu kommen. Deshalb ist die Beispielaufgabe schnell gelöst:

Lösung Beispiel 1:

Richtige Antwort: b) 24 ** $20\ \% = 0,2$

$120\$Kuchen $\bullet 0,2 = 24\$Kuchen

Auch wenn die Zahlen tatsächlich sehr einfach sind, muss man sich an diesem Punkt überlegen: Wie rechne ist das am besten im Kopf? Da 0,2 nichts anderem als $\frac{2}{10}$ entspricht, kann man auch einfach mit ganzen Zahlen rechnen:

$120\$Kuchen $\div 10 = 12\$Kuchen$\$(entspricht$\ 10\$%)

$12\$Kuchen $\bullet 2 = 24\$Kuchen$\$(entspricht$\ 20\$%)

Um es sich möglichst einfach zu machen, ist es häufig sinnvoll den Prozentbetrag in eine Dezimalzahl umzuwandeln und dann mit dieser weiterzurechnen. In manchen Fällen ist es noch besser, die Prozentzahl in einen Bruch umzuwandeln, da einem so das Rechnen leichter fällt. Hier ein weiteres Beispiel genau für diesen Fall:

Beispiel 2:

Ein Lieferant liefert 120 Kuchen, von denen 12,5 % Schokoladenkuchen sind.

Wie hoch ist die Anzahl der Schokoladenkuchen?

a) 12

b) 14

c) 15

d) 16

Der Aufbau dieser Aufgabe ist genau der Gleiche, nur dass es schwieriger ist mit 12,5 % zu rechnen als mit 20 %. Hier bietet es sich deshalb an, den Prozentbetrag in einen Bruch umzuschreiben:

Lösung Beispiel 2:

Richtige Antwort: c) 15

$12,5\ \% = 0,125 = \frac{1}{8}$

$120\$Kuchen $\bullet \frac{1}{8} = 120\$Kuchen $\div 8 = 15\$Kuchen

In beiden Beispielaufgaben merkt man, dass es sich durchaus lohnen kann, sowohl Prozentangaben als auch Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, da es sich nun mal mit ganzen Zahlen besser im Kopf rechnen lässt. Und falls es sich nicht gut mit den Zahlen rechnen lässt, kann man am Ende immer noch runden.

Ein Aufgabentyp, der auch häufig auftritt, ist eine Art Geschichte in der von einer Grundgesamtheit einzelne Teile aufgespalten werden und man die einzelnen Aufteilungen nachvollziehen muss. Statt mit einem einzelnen Anteil zu rechnen wie in den vorherigen Beispielen, muss man nun beispielsweise durch das Zusammenrechnen mehrerer Anteile auf den fehlenden Anteil schließen. Hierbei sind die Rechnungen ebenfalls unkompliziert, aber sobald mehrere Aufteilungen hintereinander auftreten, kann es einem schwerfallen sich alles im Kopf zu behalten.

**Beispiel 4: ** In einem Dorf wohnen 120 Einwohner. Im südlichen Teil wohnen 20, im nördlichen Teil wohnen doppelt so viele wie im südlichen Teil und im östlichen Teil leben 25.

Wie viele Einwohner wohnen im westlichen Teil?

a) 20

b) 25

c) 35

d) 40

Lösung Beispiel 4:

Richtige Antwort: c) 35

Bei dieser Aufgabe gibt es eigentlich nur einen möglichen Rechenweg:

Südlicher Teil: $20\$Einwohner

Nördlicher Teil: $2 \bullet 20 = 40\$Einwohner

Östlicher Teil: $25$ Einwohner

Westlicher Teil: $120 - 20 - 40 - 25 = 35\$Einwohner

Die folgende Aufgabe kam in einer sehr ähnlichen Art und Weise im BaPsy 2024 dran:

Beispiel 5:** ** Auf einer Behandlungsstation befinden sich 7 Psychologen im Dienst. Ein Drittel des psychologischen Personals ist aktuell krank, während ein Sechstel seinen Urlaub genießt. Gleichzeitig ist ein Viertel des Personals ebenfalls nicht einplanbar aufgrund von Fortbildungen.

Wie viele Personen arbeiten maximal auf dieser Station?

a) 18

b) 20

c) 24

d) 28

Lösung Beispiel 5:

Richtige Antwort: d) 28

In dieser Aufgabe rechnet man mit den einzelnen Anteilen des Personals, ohne die absolute Anzahl zu berücksichtigen:

$\frac{1}{3}$ des Personals ist aktuell krank

$\frac{1}{6}$ des Personals ist im Urlaub

$\frac{1}{4}$ des Personals besucht eine Fortbildung

Rechnen wir alle Anteile zusammen, wissen wir welcher Anteil des psychologischen Personals aktuell nicht einsatzfähig ist:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{9}{12}\ oder\ \frac{3}{4}$

Das bedeutet, dass nur ein Viertel des Personals sich aktuell im Dienst befinden kann -- das sind die 7 erwähnten Psychologen. Folglich ist das psychologische Personal eigentlich 4-mal größer:

$7\$Psychologen $\bullet 4 = 28\$Psychologen