Ein sehr beliebter Aufgabentyp besteht aus Aufgaben, die in verschiedenen Kontexten ein proportionales Verhältnis beinhalten. Dabei muss es sich jedoch nicht nur um direkte Proportionalität handeln, sondern es kann auch Antiproportionalität enthalten. Bei einem proportionalen Verhältnis steigt die zweite Größe, wenn die erste Größe steigt. Bei einem antiproportionalen Verhältnis ist dies genau umgekehrt: Wenn Größe 1 steigt, fällt Größe 2.
Hier ein Beispiel für direkte Proportionalität:
**Beispiel 1: ** Die durchschnittliche Produktionsrate in einer Kuscheltierfabrik beträgt 45 Kuscheltiere pro Stunde bei 5 Arbeitern.
Wie viele Kuscheltiere produzieren 8 Arbeiter in einer Stunde?
a) 52 Kuscheltiere
b) 68 Kuscheltiere
c) 72 Kuscheltiere
d) 84 Kuscheltiere
Lösung Beispiel 1:
Richtige Antwort: c) 72 Kuscheltiere
Eine Erhöhung der Arbeiterzahl hat auch eine Erhöhung der Produktionsrate an Kuscheltieren zur Folge. Jetzt gibt es verschiedene Ansätze wie man eine solche Aufgabe lösen kann:
Man überlegt sich um wie viel sich die Anzahl der Arbeiter im Verhältnis erhöht. Wenn zunächst 5 Arbeiter da waren und nun 8, ist das eine Erhöhung um 3 und somit um 60 %. Dementsprechend muss sich die Menge an Kuscheltieren, die produziert wird, um 60 % erhöhen:
Kuscheltiere Kuscheltiere
Dieser Rechenweg ist aber nur bei einfachen Fällen nützlich.
Hier eine weitere Beispielaufgabe, bei der dieser Weg weniger gut funktioniert:
Beispiel 2:
5 Arbeiter brauchen 2 Stunden, um 45 Kuscheltiere zu produzieren.
Wie lange brauchen 8 Arbeiter, um 36 Kuscheltiere zu produzieren?
a) 60 Minuten
b) 68 Minuten
c) 72 Minuten
d) 84 Minuten
Lösung Beispiel 2:
Richtige Antwort: a) 60 Minuten
Hier ist es sinnvoller anders vorgehen. Zuerst berechnet man die Produktionsrate eines Arbeiters pro Stunde:
Wenn 5 Arbeiter innerhalb von 2 Stunden 45 Kuscheltiere produzieren, produziert ein Arbeiter in 2 Stunden ein Fünftel davon: 9 Kuscheltiere. Seine Produktionsrate beträgt also 4,5 Kuscheltiere pro Stunde.
Wenn nun 8 Mitarbeiter gleichzeitig arbeiten, produzieren diese 8-mal so viel pro Stunde: 36 Kuscheltiere. Dementsprechend ist die richtige Antwort 60 Minuten. Im Gegensatz zum ersten Beispiel wurde hier zuerst berechnet, wie viele Kuscheltiere ein Arbeiter pro Stunde produziert. Man hat also zunächst die Grundbasis berechnet, von der man dann abhängig von der Frage weiterrechnen kann. Prinzipiell gilt: Mit dieser Methode kommt man immer zum richtigen Ergebnis und man kann sie bei jeder Aufgabe, unabhängig von Kontext und Anzahl der Angaben, anwenden.
Hier ein Beispiel zur Antiproportionalität:
**Beispiel 3: ** 12 Bauarbeiter brauchen 6 Stunden, um die Arbeit auf der Baustelle zu beenden.
Wie lange brauchen 8 Arbeiter, um die Arbeit auf der Baustelle zu beenden?
a) 9 Stunden
b) 8 Stunden
c) 7 Stunden
d) 10 Stunden
Lösung Beispiel 3:
Richtige Antwort: a) 9 Stunden
Hier liegt ein antiproportionales Verhältnis vor: Eine Reduktion der Anzahl der Arbeiter führt zu einer Erhöhung der Dauer bis zur Fertigstellung der Baustelle. Hier muss nun anders gerechnet werden. Wenn 12 Bauarbeiter 6 Stunden für die Arbeit benötigen, wird ein einziger Bauarbeiter 12-mal so lange brauchen:
Stunden Stunden
8 Bauarbeiter brauchen nun 8-mal weniger Zeit für die gleiche Arbeit:
Stunden Stunden
Die Methode zur Berechnung solcher Aufgaben ist die Gleiche wie bei Beispiel 2. Das zeigt, dass die Methode, auf einen Basiswert hoch- oder runterzurechnen und dann erst weiterzurechnen, immer ein sicherer Weg zum richtigen Ergebnis ist, aber auch meistens mindestens einen weiteren Rechenschritt benötigt.