Kopfrechnen

Ganz unabhängig vom Aufgabentyp, stellt schnelles und fehlerfreies Kopfrechnen das größte Problem für die meisten Teilnehmer dar. Immerhin wurde es einem in der Schule nie richtig beigebracht, sondern sogar eher davon abgeraten und in Klausuren bestraft. Im Alltag braucht man diese Kompetenz eigentlich auch nur selten.

Das sollte aber kein Grund für Dich sein, Dich durch diese Defizite demotivieren zu lassen! Im Gegenteil: Du verfügst im Grunde genommen bereits über alle relevanten Rechenfähigkeiten, wenn Du eine Aufgabe auf Papier lösen kannst. Nun gilt es sich nur noch zu überlegen, wie man das am besten im Kopf machen kann, um sich danach voll und ganz auf das Üben mit Aufgaben fokussieren zu können. Und genau darum soll es in dieser Lektion gehen.

Addition und Subtraktion:

Statt mit den ganzen Beträgen zu rechnen, kannst Du beispielsweise die einzelnen Summanden zunächst aufteilen und in Teilschritten rechnen, die deutlich einfacher sind:

$47 + 36 = \ ?$

Hier könnte man auf verschiedene Weisen aufteilen -- je nachdem, was Dir mehr gefällt:

$47 + 36 = (47 + 30) + 6 = 77 + 6 = 83$

oder

$47 + 36 = (40 + 30) + (7 + 6) = 70 + 13 = 83$

Zweistellige Beträge sind in den meisten Fällen nicht das Hauptproblem, sondern eher, wenn man mit drei oder teilweise vierstelligen Beträgen rechnen muss:

$843 + 361 = \ ?$

Hier bieten sich natürlich mehrere verschiedene Möglichkeiten an, wie man diese Rechnung in Teilschritte zerlegt. Die genaue Variante wäre:

$843 + 361 = (800 + 300) + (40 + 60) + (3 + 1) = 1.100 + 100 + 4 = 1.204$

Man sieht, dass Teilschritte Fluch und Segen zugleich sein können, da zu viele Teilschritte letztendlich zu langen Rechnungen führen, die an sich zwar simpel sind, jedoch nun die Länge der Rechnung Probleme bereiten könnte. Deshalb ist es manchmal sinnvoller nicht zu sehr zu vereinfachen:

$843 + 361 = (800 + 300) + (43 + 61) = 1.100 + 104 = 1.204$

oder

$843 + 361 = (840 + 360) + (3 + 1) = 1.200 + 4 = 1.204$

Man kann natürlich auch zusätzlich bei einem der Teilschritte runden, falls es selbst mit den Teilschritten zu kompliziert wird:

$843 + 361 = (800 + 300) + (43 + 61) \approx 1.100 + 100 = 1.200$

Für die Subtraktion gelten genau dieselben Dinge wie für die Addition. Man kann es sich einfacher machen, indem man den Subtrahenden aufteilt und in mehreren Schritten rechnet:

$56 - 27 = (56 - 20) - 7 = 29$

$494 - 173 = 494 - 100 - 70 - 3 = 321$

Auch hier gilt wieder, dass man die Rechnung nicht ins letzte Detail unterteilen muss, sondern sich entscheiden kann die Rechnung in ein paar Teilschritte aufzuteilen, diese jedoch dennoch möglichst kurz zu halten oder teilweise zu runden:

$494 - 173 = 494 - 170 - 3 = 321$

$494 - 173 \approx 494 - 170 = 324$

Multiplikation und Division:

Bei der Multiplikation und Division ist es nicht ganz so einfach sich beim Kopfrechnen zu helfen, indem man rundet, denn bereits durch die kleinste Veränderung kann das neue Ergebnis deutlich vom richtigen Ergebnis abweichen:

$22 \bullet 16 = \ ?$

a) 360

b) 335

c) 345

d) 352

Wenn man nun runden würde, hätte man das Problem, dass das neue Ergebnis einem überhaupt nicht weiterhilft:

$22 \bullet 16 \approx 20 \bullet 16 = \ 320$

Stattdessen sollte man sich also besser andere Hilfestellungen suchen. Genauso wie bei der Addition und Subtraktion lässt sich durch das Distributivgesetz die Rechnung aufteilen:

$22 \bullet 16 = \ 20 \bullet 16 + 2 \bullet 16 = 320 + 32 = 352$

Wenn eine der beiden Zahlen nahe einer „glatten" Zahl ist, ist es oft weniger sinnvoll so wie oben einen Faktor aufzuteilen. Dazu hier ein neues Beispiel:

$29 \bullet 16 = \ \mathbf{20 \bullet 16 + 9 \bullet 16} = 320 + 144 = 464$

Stattdessen rechnet man mit der „glatten" Zahl und zieht ein bisschen vom neuen Ergebnis ab:

$29 \bullet 16 = \mathbf{30 \bullet 16 - 1 \bullet 16} = 480 - 16 = 464$

Für die Division gelten ähnliche Regeln. Vor allem wenn Du beim Divisor rundest, wird sich das Ergebnis deutlich verändern:

$360 \div 18 = \ ?$

a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

$360 \div 18 \approx 360 \div 20 = 18$

Hier würde man also ebenfalls zum falschen Ergebnis kommen. Aber auch bei der Division kann man sich das Leben einfacher machen. Schauen wir uns folgendes Beispiel an:

$312 \div 13 = ?$

Statt sich die Frage zu stellen wie oft passt die 13 in die 312, könnte man sich stattdessen die Frage stellen: wie oft passt 130 in die 312? Sie passt 2-mal rein, also passt die 13 20-mal rein, wobei am Ende noch ein Rest übrigbleibt:

$312 - 260 = 52$

Erst wenn wir mit einem Rest arbeiten, der keine ganzen 130 mehr enthalten kann, überlegen wir uns wie oft die 13 da nun reinpasst:

$52 \div 13 = 4$

Zusammengerechnet sind das also 24. Im übertragenen Sinne geht man so auch bei den anderen Rechenoperatoren vor: von groß zu klein. Das hat auch den Vorteil, dass wenn man zwischendurch einen Blick in die Antwortmöglichkeiten wirft und merkt, dass sich ein Ergebnis klar herauskristallisiert, man vielleicht sogar nicht die ganze Rechnung bis ins letzte Detail durchführen muss und einen Teil weglassen kann.

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Durch Runden kann man sich viel Zeit und Energie sparen. Doch dieser Vorteil kommt natürlich mit dem Risiko, dass man dadurch das falsche Ergebnis erhält und die falsche Antwortmöglichkeit ankreuzt, was in zweierlei Hinsicht blöd ist: Zum einen hat man bereits Zeit in die Aufgabe investiert, da man den Text lesen und verstehen musste. Zum anderen hat man sich auch schon die Mühe gemacht und den Großteil der Rechenschritte durchgeführt, die für das Lösen der Aufgabe notwendig waren, nur um dann am Ende keinen Punkt für die Aufgabe zu bekommen. Deshalb sollte man nur so viel Runden, dass man schlussendlich trotzdem eindeutig eine Antwortmöglichkeit ankreuzen kann!

Beim Runden kann man aber darauf achten, wie man rundet, denn dadurch lässt sich der Rundungsfehler minimieren. In manchen Fällen kann man nur auf- oder abrunden, in anderen Fällen ist es sinnvoll einen Teil aufzurunden und den anderen Teil abzurunden:

$548 + 494 = (500 + 400) + \left( \mathbf{48 + 94} \right) \approx 900 + \left( \mathbf{50 + 90} \right) = 900 + 140 = 1.040$

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