Lineare Gleichungssysteme lösen

Lineare Gleichungssysteme lösen zu können ist nicht nur für den Mathematikteil eine der wichtigsten Kompetenzen, sondern wird auch im Schlussfolgernden Denken numerisch gefordert. Im BaPsy 2024 und 2025 gab es Aufgaben, die das Lösen eines linearen Gleichungssystems isoliert abgefragt haben, aber auch weitere Aufgabentypen des numerischen Teils erforderten das Rechnen mit Gleichungen. Leider ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen keine Thematik, die man mit vielen Tipps und Abkürzungen vereinfachen kann. Hier gilt wie so oft: Übung macht den Meister.

Schritt für Schritt Grundsätzlich gilt bei dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, dass wir immer mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte brauchen, damit das Gleichungssystem lösbar ist. Meist werden wir 3 oder 4 Unbekannte in verschiedenen Gleichungen gegeben haben und müssen dann durch verschiedene Verfahren zum Ergebnis kommen. Dazu solltest Du versuchen Schritt für Schritt eine Unbekannte nach der anderen zu eliminieren, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten. Zu Beginn ist es meist schwierig bei Gleichungen mit 4 Unbekannten einen Weg zu finden die erste Variable zu eliminieren. Aber je weniger Variablen übrig sind, desto einfacher wird es weitere rauszukürzen.

Lösungsmethoden Es gibt 3 Lösungsmethoden, die Du nutzen kannst, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen:

1. Das Additionsverfahren Beim Additionsverfahren verrechnen wir ganze Gleichungen miteinander. Wir können die Gleichungen beide zuvor in Gänze jeweils mit einem Faktor multiplizieren und so auch die Vorzeichen ändern. Diese Methode eignet sich besonders gut zu Beginn, wenn man noch viele Unbekannte in den Gleichungen hat, da man nur eine Unbekannte finden muss, die sich so eliminieren lässt.

Beispiel: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: I. $2x - 7y = 13$ II. $4x - 16y = 22$

Wir sehen, dass der Faktor von $x$ bei I. halb so groß ist, wie bei II.. Das bedeutet, wir können die Gleichung I. mit $- 2$ multiplizieren und anschließend die beiden Gleichungen verrechnen, damit die Variable $x$ eliminiert wird.

$- 2 \bullet$ I.: $- 4x + 14y = - 26$

$- 2 \bullet$ I. $+$ II.: $- 4x + 14y = - 26$ $+$ $4x - 16y = 22$

$- 2y = - 4$ $y = 2$

2. Das Gleichsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren können wir nahezu immer anwenden und sofern wir nicht sicher sind, ob wir andere Methoden anwenden können, ist das ein sicherer Weg eine Variable zu eliminieren. Beim Gleichsetzungsverfahren stellen wir die beiden Gleichungen nach derselben Variable um und setzen sie dann gleich, sodass die Variable, nach der umgestellt wurde, wegfällt. Anschließend gilt es noch die Gleichung weiter zu vereinfachen.

Beispiel: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: I. $x - 8y + 3z = - 3$ II. $5x - 15y + 10z = 14$

Wir stellen beide Gleichungen nach $x$ um, da das sichtbar am einfachsten ist und setzen dann gleich.

I.: $x - 8y + 3z = - 3$ $| + 8y - 3z$

$x = 8y - 3z - 3$

II. $5x - 15y + 10z = 14$ $| + 15y - 10z$

$5x = 15y - 10z + 14$ $| \div 5$

$x = 3y - 2z + 2,8$

I. $=$ II.: $8y - 3z - 3 = 3y - 2z + 2,8$ $| - 3y + 2z$

$5y - z - 3 = 2,8$ $| + 3$

$5y - z = 5,8$

3. Das Einsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren ist vor allem nützlich, wenn nur noch wenige Unbekannte übrig sind. Zu Beginn mit vielen Unbekannten ist es nicht ratsam das Einsetzungsverfahren zu verwenden. Dabei stellen wir eine Gleichung nach einer Variable um und setzen für diese Variable in der anderen Gleichung ein.

Beispiel: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: I. $19x + 3y = 35$ II. $2 = 2x + 2y$

Wir stellen die zweite Gleichung nach $y$ um, da sie deutlich einfacher umzustellen ist und weil in der ersten Gleichung für $y$ einzusetzen am einfachsten auszumultiplizieren ist.

II.: $2 = 2x + 2y$ $| - 2x$

$2 - 2x = 2y$ $| \div 2$

$y = 1 - x$

II. in I.: $19x + 3 \bullet (1 - x) = 35$

$19x + 3 - 3x = 35$ $| - 3$

$16x = 32$ $| \div 16$

$x = 2$

Hier ein Beispiel für eine Aufgabe mit einem Gleichungssystem, das in einen Kontext eingebettet ist:

**Beispielaufgabe: ** Max kauft 3 Flaschen Wein und 5 Rosen für insgesamt 28 Euro. Sein Bruder Tim kauft 7 Flaschen Wein und 10 Rosen für 62 Euro. **

Wie viel kosten eine Flasche Wein und eine Rose zusammen?**

a) 6 €

b) 5 €

c) 8 €

d) 9 €

Lösung:

Richtige Lösung: c) 8 €

Um diese Aufgabe zu lösen, stellen wir die beiden Einkäufe als Gleichung dar und lösen das Gleichungssystem:

$28 = 3\$Flaschen Wein $+ \ 5\$Rosen

$62 = 7\$Flaschen Wein $+ \ 10\$Rosen

Hier gilt das Gleiche wie bei den kontextlosen Gleichungssystemen. Es gibt mehrere Wege, die zum richtigen Ergebnis führen. Und trotzdem gibt es deutlich leichtere Rechenwege.

Da es beim BaPsy keine Punkte für den korrekten Rechenweg gibt, gibt es auch keinen Grund korrekt zu rechnen und Abkürzungen auszulassen. Wenn man sich die Gleichungen kurz ansieht, erkennt man, dass wenn man die obere Gleichung verdoppelt, die Rosen bereits weggekürzt werden können.

$28 = 3\$Flaschen$\$Wein $+ \ 5\ Rosen$ $| \bullet 2$

$62 = 7\$Flaschen Wein $+ \ 10\$Rosen

$56 = 6\$Flaschen Wein $+ \ 10\$Rosen

$62 = 7\$Flaschen Wein $+ \ 10\$Rosen

Im Prinzip kann man direkt ablesen, dass eine Flasche Wein 6 Euro kosten muss. Danach muss man nur noch in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um den Preis für eine Rose herauszufinden:

$28 = 3 \bullet 6 + 5\$Rosen

$28 = 18 + 5\$Rosen

$10 = 5\$Rosen

$2 = 1\$Rose

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Vor allem bei Aufgaben, bei denen es mehrere Rechenwege zum Ergebnis gibt, hat man die Möglichkeit leichte oder weniger leichte Rechenwege zu wählen. Das Problem beim BaPsy ist jedoch, dass man durch den Zeitdruck oft vorschnell mit dem Rechnen beginnt, da man intuitiv glaubt so schneller zum Ergebnis zu kommen. Vor allem bei diesem Untertest, bei dem man weniger als 60 Sekunden Zeit pro Aufgabe hat, muss man ein hohes Tempo aufrechterhalten.

Doch besonders an solchen Stellen sollte man versuchen einen kühlen Kopf zu bewahren und zu überlegen, wie man unnötige oder schwere Rechenschritte vermeiden kann und trotzdem zum richtigen Ergebnis kommt. Denn sobald man sich für einen Weg entschieden hat, wird man sich im Nachhinein nur sehr schwierig für einen anderen Rechenweg umentscheiden können, ohne dass man dadurch viel Zeit verliert.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////