Graphen lesen und Funktionen zuordnen

Anhand eines Graphen zu erkennen, um welche Funktion es sich handelt, oder anhand einer Funktion den zugehörigen Graphen ausfindig machen, kann sehr anspruchsvoll sein. Hier ist es wichtig zu wissen, auf welche Merkmale man achten muss, um mit dem Ausschlussverfahren schnell auf die richtige Antwort zu kommen.

Es gibt folgende Merkmale, die Du immer beachten solltest:

Der Y-Achsenschnittpunkt Setzt man $x = 0$ in die Funktion ein, bleibt meist nur noch die Konstante und diese kann man auch am Y-Achsenschnittpunkt ablesen.

Zum Beispiel: $f(x) = 3x^{2} - 12x + 4$ $\rightarrow$ $f(0) = 3{\bullet (0)}^{2} - 12 \bullet (0) + 4 = 4$

Hier wäre der Y-Achsenschnittpunkt bei $y = 4$.

So kann man schnell die möglichen Antworten eingrenzen.

Der höchste Exponent Die maximale Anzahl an Extrempunkten einer Funktion ergibt sich, wenn man von dem höchsten Exponenten der Gleichung 1 abzieht.

Eine Funktion mit dem höchsten Exponenten $x³$ kann zum Beispiel maximal 2 Extrempunkte haben. Sehen wir eine Funktion mit 2 Extrempunkten können also alle Antwortmöglichkeiten mit einem Exponenten von $x²$ oder niedriger ausgeschlossen werden.

Dasselbe gilt für die Anzahl der Wendepunkte einer Funktion, nur muss man hier vom höchsten Exponenten 2 abziehen.

Ansonsten kann hier auch ein sicherer und zeitsparender Weg sein, in jede der vier Antwortmöglichkeiten denselben $x$-Wert einzusetzen und am Graph abzulesen, ob es passt.

Beispiel:

Welche der folgenden Funktionen ist dem abgebildeten Graph zugehörig?

a) $f(x) = 3x + 2$

b) $f(x) = 2x^{2} - 4$

c) $f(x) = 5x^{3} - 5x + 1$

d) $f(x) = 3x^{3} - 2x - 2$

Erklärung:

Wir sehen in der Abbildung, dass der Graph 2 Extremstellen hat. Das bedeutet, dass der höchste Exponent mindestens eine 3 sein muss. Demnach können a) und b) bereits ausgeschlossen werden. Werfen wir nun einen Blick auf den y-Achsenschnittpunkt. In der Abbildung ist klar erkennbar, dass die Funktion die y-Achse oberhalb vom Koordinatenursprung schneidet. Das bedeutet, dass die gesuchte Funktion bei $x = 0$ einen positiven Funktionswert haben muss. Daher können wir d) ausschließen, denn diese Funktion besitzt die negative Konstante $- 2$. Daher schneidet diese Funktion die y-Achse im negativen Bereich.

c) ist die richtige Antwort.

Translation von Parabeln

Die Translation von Funktionen beschreibt das Verschieben der Funktionen. Besonders die Translation von Parabeln ist ein üblicher Aufgabentyp im BaPsy und wurde auch in 2024 in einer Aufgabe zur Zuordnung von Graphen abgefragt.

Um eine Parabel genau zu identifizieren, gibt es 3 Merkmale, die wir beachten:

1. Ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Das erkennt man an dem Vorzeichen der höchsten Potenz, also $x^{2}$. Die höchste Potenz hat den größten Einfluss und somit ist das Vorzeichen entscheidend für den Verlauf. Hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, ist die Parabel nach oben geöffnet, hat $x^{2}$ ein negatives Vorzeichen, ist die Parabel nach unten geöffnet.

$f(x) = x^{2}$:

$f(x) = {- x}^{2}$:

2. Ob die Parabel entlang der Y-Achse verschoben ist. Die Normalform einer quadratischen Funktion 2. Grades (also einer üblichen Parabel) ist $f(x) = ax^{2} + bx + c$. Hier ist $c$ die Konstante, welche den Y-Achsenschnittpunkt bestimmt. Erhöht man $c$, verschiebt man die Parabel entlang der Y-Achse nach oben und verringert man $c$, verschiebt man die Parabel entlang der Y-Achse nach unten.

$f(x) = x^{2} + 1$:

$f(x) = x^{2} - 1$:

3. Ob die Parabel entlang der X-Achse verschoben ist. Meist wird in diesem Fall die Funktion der Parabel nicht in der üblichen Normalform ($f(x) = ax^{2} + bx + c$) ausgedrückt, sondern in der Scheitelpunktform, beispielsweise $f(x) = (x - 3)^{2} + 2$. Multipliziert man diese Klammer aus, hat man einen Faktor vor $x^{2}$, einen Faktor vor $x$ und eine Konstante, womit wir wieder bei der Normalform wären. Nur ist es bei der Scheitelpunktform deutlich leichter abzulesen, inwiefern die Parabel entlang der X-Achse verschoben ist.

Addiert man innerhalb der quadrierten Klammer den Wert $a$, verschiebt man die Parabel entlang der X-Achse um $a$ Stellen nach links. Hier ist $a = 2$.

$f(x) = (x + 2)^{2}$:

Subtrahiert man innerhalb der quadrierten Klammer den Wert $a$, verschiebt man die Parabel entlang der X-Achse um $a$ Stellen nach rechts. Hier ist $a = 2$.

$f(x) = (x - 2)^{2}$:

Weitere Funktionsgraphen

Darüber hinaus gibt es noch einige Funktionen, deren Graphen man gesehen haben sollte, da sie sich nicht so schnell erschließen lassen.

\begin{aligned}f(x) = \frac{1 \\ x}\end{aligned}

${f(x) = \ln(x) }$

\begin{aligned}f(x) = \frac{1 \\ x^{2}}\end{aligned}

$f(x) = \sqrt{x}$